110臺中女中
我太愛臺中女中人事室了打電話去問怎麼還沒公告試題與答案
考生很需要檢討題目
人事室15分鐘內馬上幫忙處理好～
以下是考生成績分布的直方圖，供各位參考
[attach]5967[/attach] 1.
有一個三位數滿足數字重新排列後所得之最大數與最小數的差值為原三位數，則此三位數為[u] [/u]。
有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數，將這四位數的各位數字重新排列，可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後，最大數為9732，最小數為2379)，如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數，試求所有這種四位數。
(100第一區筆試一試題，[url]https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html[/url])
6174妙題巧解，[url]https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d32/3206.pdf[/url]
3.
函數\(f(x)=\sqrt{x^2-2x+12-6\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-12x+39-2\sqrt{2}}\)，其中\(x\)為實數，則\(f(x)\)的最大值為[u] [/u]。
[提示]
\(f(x)=\sqrt{(x-1)^2+(3-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(x-6)^2+(1-\sqrt{2})^2}\)
4.
將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數字隨機填入\(3\times 3\)的方格表中，每個小方格恰填寫一個數字，且所填的數各不相同，則使每行、每列之和都是奇數的機率為[u] [/u]。
將\(1,2,3,\ldots,9\)共9個數字任意填入\(3\times 3\)的方格中，每一格填一個數字，且數字不重覆。欲使每一直行和每一橫列(不含對角線)的數字和皆為奇數，如圖(三)是一種填法，則共有[u] [/u]種填法。(答案要乘開。)
１２４
３６８
５７９
圖(三)
(105嘉義高中資優甄選複選，[url]https://math.pro/db/thread-2628-1-1.html[/url])
7.
下圖為一八面體，頂部與頂部與底部均為正三角形，邊長分別為15、27單位，側面均為等腰三角形且腰長為\(a\)單位，若此四面體的高，即頂部平面與底部平面的垂直距離為\(\sqrt{141}\)，則\(a=\)[u] [/u]。
[attach]5982[/attach]
[解答]
設大正三角形重心\(G_1(0,0,0)\)，\(\displaystyle A(\frac{9\sqrt{3}}{2},\frac{27}{2},0)\)
設小正三角形重心\(G_2(0,0,\sqrt{141})\)，\(\displaystyle B(5\sqrt{3},0,\sqrt{141})\)
\(\displaystyle a=\overline{AB}=\sqrt{(\frac{9\sqrt{3}}{2}-5\sqrt{3})^2+(\frac{27}{2}-0)^2+(0-\sqrt{141})^2}=18\)
18.
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數\(m,n\)中，\(3m+4n\)的最大值為[u] [/u]。
設有\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)個互不相同的正奇數之和為2012，則\(5m+12n\)的最大值為[u] [/u]。
(101台中女中，cplee8tcfsh解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463[/url])
\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987，求\(3m+4n\)的最大值。
(108基隆女中，thepiano解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3186&page=3#pid20433[/url])
計算證明題
1.
設\(a,b,c>0\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)。
3.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，\(a_1=4\)，\(a_2=5\)，若\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}}\)，\(n\ge 3\)，\(n\in N\)，
(1)求此數列的一般項\(a_n\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{a_n}}\)的整數部分為何？
[提示]
計算\(a_1=4,a_2=5,a_3=6,a_4=7,\ldots\)，猜測\(a_n=n+3\)，驗證\(\displaystyle n+3=\frac{(n+2)^2-1}{n+1}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{n+3}}\)，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048[/url] 19題
某西洋棋比賽規定，由對戰的兩名選手輪流執白棋先行，直到其中一名選手連勝兩場時比賽結束。依過去經驗，甲、乙兩人比賽西洋棋，當甲先行時，甲贏的機率為\(\displaystyle \frac{3}{5}\)；當乙先行時，乙贏的機率為\(\displaystyle \frac{3}{5}\)。今甲、乙兩人比賽，由甲執白棋先行，假設每次輸贏皆為獨立，且過程中均無和局，則比賽場數的期望值為[u] [/u]。
[解答]
假設期望值為\(x\)
列式得\(\displaystyle x=2\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}\times2 +\frac{9}{25}(x+2)+\frac{4}{25}(x+2)\)
解出\(\displaystyle x=\frac{25}{6}\)
是否哪邊考慮錯誤 得不到公布的答案
補充 這題和109台中一中基本上是一樣的題目，換個敘述法而已
本題答案應該改為\(\displaystyle x=\frac{25}{6}\) ??
是說現在提疑義不知道有沒有用....
[attach]5968[/attach] 11.
平面上一點\(P\)以原點為中心，逆時針旋轉\(\alpha\)角，再對過原點的直線\(L\)作鏡射後得\(Q\)點，已知\(P\)、\(Q\)兩點對稱直線\(L'\)：\(y=5x\)，且\(\displaystyle tan\alpha=\frac{3}{4}\)，則直線\(L\)的斜率為[u] [/u]。
[解答]
請教第 11 題
算不出學校公告的答案 -8 ，不知道觀念是否有誤？
[attach]5973[/attach]
回復 3# satsuki931000 的帖子
可以趕快打電話過去問問 deuce會重來，這題不會在某人利用\(\displaystyle \frac{3}{5}\)贏後，遊戲結束的期望值為\(\displaystyle E_1=\frac{2}{5}\times1+\frac{3}{5}(E_1+1)\)，\(\displaystyle E_1=\frac{5}{2}\)
在某人利用\(\displaystyle \frac{2}{5}\)贏後，遊戲結束的期望值為\(\displaystyle E_2=\frac{3}{5}\times1+\frac{2}{5}(E_2+1)\)，\(\displaystyle E_2=\frac{5}{3}\)
所求為\(\displaystyle E=\frac{3}{5}(E_1+1)+\frac{2}{5}(E_2+1)\)
唉，看到正確答案才發現，最後要加1，難怪我考場寫\(\displaystyle \frac{13}{6}\)
感謝鋼琴老師糾正筆誤
回復 6# BambooLotus 的帖子
一語驚醒夢中人 謝謝您....計算一
設\(a,b,c>0\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)。 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-5-3 14:33 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22794&ptid=3515][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]我太愛臺中女中人事室了
打電話去問怎麼還沒公告試題與答案
考生很需要檢討題目
人事室15分鐘內馬上幫忙處理好～
[/quote]
優質學校就是不一樣
回復 4# Superconan 的帖子
cos2b是負的 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-5-3 16:04 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22799&ptid=3515][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教第 11 題
算不出學校公告的答案 -8 ，不知道觀念是否有誤？
5973 [/quote]
用您的符號 令t=tanβ=5
sin(2β)= 2t/(1+t² )=5/13
cos(2β)= (1-t² )/(1+t² )= -12/13
代入您列的矩陣求出cos(2θ)= -63/65 , sin(2θ)= -16/25
可知θ在第二象限, 2(cosθ)^2=cos(2θ)+1 ,得cosθ= -1/√ 65
所求=tanθ= -8
回復 1# Superconan 的帖子
填充6設\(z\)、\(\omega\)為複數且\(|\;z|\;=2\)、\(|\;\omega|\;=1\)，則\(|\;z^2-4\omega^2+7z\omega|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)[u] [/u]。
[解答]
令z/w=|z|/|w|(cosα +i*sinα)=2(cosα +i*sinα )
則4w/z=|4w|/|z|[cos(-α) +i*sin(-α)] =2(cosα -i*sinα)
所求=|z||w||(z/w) - 4(w/z)+ 7| =2| 7+4sinα* i |
=2√ [49+16 (sinα)² ] ,因為0≦(sinα)² ≦1
最大值=2√ (49+16)=2√ 63
最小值=2√ 49=14
回復 1# Superconan 的帖子
第12題題目出錯，這樣的PQ不存在這份考題能考50分以上實在厲害（100分鐘而已對嗎？），
題目都有難度，根本沒辦法看完整份題目而能精準挑題，
選錯題就會耗盡時間了。
回復 13# farmer 的帖子
請問如何得知這樣的 P、Q 不存在？回復 14# Superconan 的帖子
12.設\(\Delta ABC\)中\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{AC}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上任取一點\(P\)、\(Q\)，使得四邊形\(PBCQ\)的面積和周長均為\(\Delta APQ\)的2倍，則\(\overline{PQ}=\)[u] [/u]。
[解答]
AP = a，AQ = b
cos∠PAQ = - 1/4，sin∠PAQ = √15 / 4
由面積可得 ab = 2
由周長可得 PQ = 9 - 3(a + b)
利用 PQ^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠PAQ = [9 - 3(a + b)]^2
可得 a + b = (27 + √57) / 8 或 (27 - √57) / 8
前者大於 4，不合於 9 - 3(a + b)
後者小於 2.5，會導致以 a、b 為兩根的方程無實根，也不合
回復 1# Superconan 的帖子
（此篇為錯誤，內容保留在下方，另於下一帖釐清更正，若造成困擾在此致歉）——————————
第九題答案不唯一，事實上有個範圍。
學校肯公布題目跟答案，作法很棒，許多題目出得很好也值得肯定，
但審題是不是應該再嚴謹一些？
否則現場考生辛苦作答，得不出答案心很慌，
事後才發現是題目出錯，
心裡應該不是滋味。
（如果是答案錯或者題目出不好導致答案不是出題者想要的都還好（當然仍應盡量避免））
回復 16# farmer 的帖子
經驗算發現第九題是自己算錯，答案沒錯，錯怪出題者了。填充11.
平面上一點\(P\)以原點為中心，逆時針旋轉\(\alpha\)角，再對過原點的直線\(L\)作鏡射後得\(Q\)點，已知\(P\)、\(Q\)兩點對稱直線\(L'\)：\(y=5x\)，且\(\displaystyle tan\alpha=\frac{3}{4}\)，則直線\(L\)的斜率為[u] [/u]。[解答]
令a=阿爾法角 ( tan(a)=3/4 ), A(OP)表OP方向角
則A(L)=((A(OP)+a)+A(OQ))/2=(A(OP)+A(OQ))/2+a/2=A(L')+a/2
(1) 當a 為銳角時 , tan(a/2)=3/(5+4)=1/3(畫半角圖馬上知道),
所求=tan(A(L))=tan(A(L')+a/2)=(5+1/3)/(1-5*(1/3))=-8
(2) 當 a 比(1)中的a多加180度時(tan(a)一樣=3/4), a/2 要再多出90度,
此時A(L)也跟著多出90度,所以所求=1/8 , 故 填充11. 答案 應該改成 -8 或 1/8 才對 填15
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(I\)為其內心，\(H\)為其垂心，其中\(\overline{IH}=\overline{ID}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{HD}}=\)[u] [/u]。
[解答] 計算2
過曲線\(y=x^3\)上一點\(P\)有兩條切線與\(y=x^3\)相切，它們分別交\(x\)軸於點\(A\)與\(B\)，令銳角\(\angle APB=\theta\)，則\(tan \theta\)之最大值為何？
[解答]
有誤請指正，謝謝