110彰化女中
請問第 1 題答案是否有誤？---
110.05.02
學校已更正第 1 題答案。
110.05.03
填充題第 15 題送分。
回復 1# Superconan 的帖子
這題不是才剛考過110 板橋高中 填充 5. piano 老師解的結果
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3507&page=1#pid22611[/url]
最小 14，公差50，所以 \( a_{10} = 14 + 9 \cdot 50 =464 \)
回復 2# tsusy 的帖子
謝謝老師，那可以提疑義了 2.空間中有四個點\(O\)、\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中三向量\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)兩兩夾角皆為\(45^{\circ}\)，已知\(|\;\vec{OA}|\;=\sqrt{2}\)、\(|\;\vec{OB}|\;=\sqrt{3}\)、\(|\;\vec{OC}|\;=\sqrt{6}\)，求\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)張出的四面體體積為[u] [/u]。
(106高雄女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2758&page=5#pid17327[/url])
[url]https://math.pro/db/thread-2131-1-3.html[/url]
3.
有甲、乙兩箱，甲箱內有一白球、一黑球，乙箱內有一白球。每次先從甲箱任取一球放入乙箱內，再由乙箱任取一球放回甲箱裡，這樣的操作稱做一局。第\(n\)局結束時，求甲箱內有一白一黑的機率為[u] [/u]。(以\(n\)表示)
101文華高中，shiauy解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5410[/url]
105彰化高中，[url]https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html[/url]
4.
設\(x^3+2x^2+3x+4=0\)之三根為\(a\)、\(b\)、\(c\)，求行列式\(\Bigg\vert\;\matrix{-2a&a+b&a+c\cr b+a&-2b&b+c\cr c+a&c+b&-2c}\Bigg\vert\;\)之值為[u] [/u]。
\(x^3-2010x^2+x-2012=0\)之三根為\(a\)、\(b\)、\(c\)，求行列式\(\Bigg\vert\;\matrix{-2a&a+b&a+c\cr b+a&-2b&b+c\cr c+a&c+b&-2c}\Bigg\vert\;\)之值為[u] [/u]。
(101高雄中學，[url]https://math.pro/db/thread-1345-1-1.html[/url])
6.
大富翁遊戲中，每個回合都會擲一個六面骰決定前進步數，設此六面骰的六個面分別為 1, 2, 3, 4, 5, 6 點，而現在你的所在位置距離「機會與命運」格還有10步，若你要走到「機會與命運」格，請問有[u] [/u]種不同的走法？（例如：先前進 4 步，再前進 6 步，即為一種走法；或先前進1步，再前進6步，再前進3步，即為另一種走法。）
(建中通訊解題第162期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
8.
已知實數\(a>1\)，正方形\(ABCD\)的面積為36，其中\(\overline{AB}\)與\(x\)軸平行，且\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為函數\(y=log_ax\)，\(y=2log_ax\)，\(y=3log_ax\)圖形上的點，試求\(a=\)[u] [/u]。
(105中科實中國中部，[url]https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html[/url])
9.
已知圓\(x^2+y^2=37\)內部一點\(P(1,2)\)，若\(P\)點為某弦的一個三等分點，則此弦所在的直線方程式為[u] [/u]。
(101陽明高中，[url]https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html[/url])
10.
\(x\)為實數，當\(\sqrt{x^2-8x+41}+\sqrt{x^2-2x+5}\)有最小值時，\(x\)的值為[u] [/u]。
13.
空間座標系中，已知圓錐面\(z^2=x^2+y^2\)與平面\(x+z=6\)相交的曲線為一拋物線，求此拋物線的焦距為[u] [/u]。
二、說明題、計算證明題
1.
請根據108課綱的數學課程安排，分別使用10年級、11年級、12年級和大學微積分介紹的數學方法解此題目：
「\(x\)、\(y\)為實數，已知\(3x+4y=5\)，求\((x-1)^2+(y+2)^2\)的最小值與此時的\((x,y)\)值。」
(請標註該方法為哪一年級，每個方法2分，共8分)
請以各種不同的解題方法求點到直線距離。
題目：求點\(P(8,7)\)到直線\(L\)：\(4x-3y+19=0\)的距離。
說明1：請於每種方法概述該法的主要解題結構，再列出解題過程。
說明2：每種方法得3分，本題上限12分。
(106彰化女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183[/url]) 請問第六題有什麼方法比較快嗎？
考試當中是慢慢分類
兩次到終點、三次到終點、⋯十次到終點的可能
回復 5# studentJ 的帖子
第 6 題a_n 表示前進 n 步的方法數
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = a_1 + a_2 + 1 = 4
a_4 = a_1 + a_2 + a_3 + 1 = 8
a_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + 1 = 16
a_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + 1 = 32
a_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 63
a_8 = a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 125
a_9 = a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 248
a_10 = a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 492 請教第2題 算了好幾次都是\(\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}\)
不知道問題出在哪
以下為算式過程
以\(\vec{OA},\vec{OB}\)張出的三角形面積為\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
高為\(\displaystyle \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
所求體積為\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}\) 請教填充第 12、15 題
回復 8# Superconan 的帖子
110.5.3補充題目和連結12題.
在\(xy\)平面上\(\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠CAD=\alpha\)，\(∠CBD=\beta\)，\(∠CAB=\gamma\)，若\(\displaystyle sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\displaystyle cos\beta=\frac{5}{13}\)，則\(tan\gamma=\)[u] [/u]。
平面上\(\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠CAD=\alpha\)，\(∠CBD=\beta\)，\(∠CAB=\gamma\)，若\(\displaystyle cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\displaystyle cos\beta=\frac{8}{17}\)，則\(tan\gamma=\)[u] [/u]。
107新竹女中代理，thepiano解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2993&page=1#pid18885[/url]
回復 7# satsuki931000 的帖子
高應是 √(6√2 - 6) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{x^2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)=\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \lim _{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \int_{0}^{2}\sqrt{ux^2-1}\ du =\frac{1}{3}(ux^2-1)^{\frac{3}{2}}|_0^2\)
最後的下限怪怪的，難不成要瑕積分??
結果論來看\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}(2x^2-1)^{\frac{3}{2}}\)
微分得\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2x^2-1}\cdot 4x\)
所求\(f'(5)=70\)
想請問有沒有正規的作法
回復 11# satsuki931000 的帖子
填充 15.有考試的話，可以試試申請疑義吧一般沒特別註明，應該都是談實函數。
除非接受複數函數值或複變函數，分實部、虛部定義積分。不過這一般應該是在複變、複分析的課程了。 [quote]原帖由 [i]satsuki931000[/i] 於 2021-5-2 16:22 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22767&ptid=3514][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{x^2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \lim _{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\display ... [/quote]
用寸絲推薦的網站算的(這網站太厲害了)
為什麼會使用它呢?
因為110板橋高中那題跟這題,我用Mathematica12居然算不出來.....
(Mathematica軟體對於這種黎曼和積分定義還要再加油!!)
回復 11# satsuki931000 的帖子
不知道這樣寫會不會有問題，然後存在的證明我沒想法了。[[i] 本帖最後由 firzenf04 於 2021-5-3 12:17 編輯 [/i]] 彰化女中已回復
填充第15題送分 填充4
回復 5# studentJ 的帖子
將10拆成若干個正整數的和有\(2^9=512\)種走10步：1種
走9步：2種
走8步：5種
走7步：12種
共\(512-20=492\)
謝謝鋼琴老師，已修正 可以請教第五題嗎？我只會一個個數
回復 19# PDEMAN 的帖子
第 5 題做苦工的題目，考試看到這種題目一定要跳啊
2|x| + |y| = 20
菱形四個頂點 A(10，0)，B(0，20)，C(-10，0)，D(0，-20)
x^2 + 4y^2 =20
橢圓四個頂點 D(2√5，0)，E(-2√5，0)，F(0，√5)，G(0，-√5)
區域 D = 菱形 - 橢圓
先算第一象限的格子點
x = 1，y = 3 ~ 18，計 16 點
x = 2，y = 2 ~ 16，計 15 點
x = 3，y = 2 ~ 14，計 13 點
x = 4，y = 1 ~ 12，計 12 點
x = 5，y = 1 ~ 10，計 10 點
x = 6，y = 1 ~ 8，計 8 點
x = 7，y = 1 ~ 6，計 6 點
x = 8，y = 1 ~ 4，計 4 點
x = 9，y = 1 ~ 2，計 2 點
以上計 86 點
x 軸上的點有 6 * 2 = 12 個
y 軸上的點有 18 * 2 = 36 個
所求 = 86 * 4 + 12 + 36 = 392
回復 19# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師頁:
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