110桃園高中
發現還沒有人PO想問13, 20
非常感謝 2.
若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+2a_{n-1}}\)，\(n\ge 2\)，\(n\in N\)，則\(a_n=\)[u] [/u]。(以\(n\)表示)
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1+2a_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}+2\)
擷取部分內容[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1668&page=1#pid8732[/url]
1.什麼題目只要算循環節就好，什麼題目才要算出一般項？
2.不動點相同的話，我會算一般項嗎？
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的？
4.上面ichiban是從\( a_n \mapsto a_{n-1} \mapsto a_{n-2} \mapsto a_{n-4} \)，看出\( a_n=a_{n-4} \)數列4個一循環，但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題？
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列，你能不能整理出一份筆記？
回到這題若計算不動點\(\displaystyle x=\frac{x}{1+2x}\)，\(x+2x^2=x\)，\(x=0,0\)不動點相同而且是0，那要怎麼算
3.
\(\displaystyle S_n=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)
4.
設\(n\)為自然數，若\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}\)，則\(n=\)[u] [/u]。
試求\(\displaystyle C_0^{21}+\frac{1}{2}C_1^{21}+\frac{1}{3}C_2^{21}+\frac{1}{4}C_3^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21}=\)[u] [/u]。
(100文華高中代理，weiye解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636[/url])
7.
甲、乙、丙、丁、戊等 5 人，每人都會洗碗，也會做飯，但每餐飯，做飯者不洗碗，某假日午、晚兩餐，做飯者非同一人，洗碗者也非同一人，問有[u] [/u]種情形。
107新竹女中代理，[url]https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html[/url]
9.
有一種被稱作『1A2B』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字。每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置，\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『\(1A2B\)』，假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率是[u] [/u]。
有一種被稱作『\(mAnB\)』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字，每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置，\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『\(1A2B\)』。
(1)猜題者在第1次就猜到『\(1A3B\)』的機率是[u] [/u]。
(2)假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率[u] [/u]。
(98國立大里高中段考試題，連結已失效h ttp://teacher.dali.tc.edu.tw/shchmath/download.php?f=usual/098-1/one/098-1-1-3a.doc)
10.
\(A\)柱中有\(n\)個大小不同的圓盤由大而小往上堆疊，若要從\(A\)柱全部搬移至\(B\)柱，每次只能搬動一圓盤，且每次都必須先經中間柱（不可由\(A\)直接放入\(B\)）且大盤不可放在小盤之上，設共要搬動\(a_n\)次﹐若\(a_{n+1}=pa_n+k\)，求數對\((p,k)=\)[u] [/u]。
(100育成高中代理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1204&page=1#pid5400[/url])
12.
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為[u] [/u]。
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=3\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為[u] [/u]。
(107新竹女中代理，[url]https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html[/url])
14.
\(n\in N\)，若\((1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\)，其中\(a_n,b_n\)為有理數，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)[u] [/u]。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470[/url]
18.
袋中有4紅球, 6白球今自袋中，每次取出一球，取出不放回，取完為止，則取球過程中，紅球個數不多於白球個數的機率為何？
袋中有4紅球，5白球，今自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止。取球過程中，紅球個數不多於白球個數之機率為[u] [/u]。
(97家齊女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=792&page=2#pid14524[/url])
19.
桃高實驗室針對800件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組8件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性機率都是0.2，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可。當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組8件血液樣本逐一檢驗。依上述檢驗方式，此800件血液樣本檢驗次數的期望值為[u] [/u]。
針對900件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組9件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性的機率都是0.1，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可；而當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組9件血液樣本逐一檢驗，此情況下總共需要10次的檢驗。依檢驗方式，此900件血液樣本檢驗次數之期望值為何？
(1)\(900(1-0.1)^9\) (2)\(900(1-0.9^9)\) (3)\(900(1-0.9^{10})\) (4)\(1000(1-0.9^9)\) (5)\(1000(1-0.9^{10})\)
(大學入學考試中心 學科能力測驗數學考科考試說明，[url]https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0J270523673350075581/111%E5%AD%B8%E5%B9%B4%E5%BA%A6%E8%B5%B7%E9%81%A9%E7%94%A8%E5%AD%B8%E6%B8%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%80%83%E7%A7%91%E8%80%83%E8%A9%A6%E8%AA%AA%E6%98%8E(%E5%AE%9A%E7%A8%BF).pdf[/url])
20.
從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為[u] [/u]。
(109中壢高中代理，happysad解題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=1#pid21461[/url])
從\(z^{2014}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為[u] [/u]。
(106松山工農代理，[url]https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html[/url])
(2014TRML個人賽，[url]https://math.pro/db/thread-2028-1-1.html[/url]) [quote]原帖由 [i]lulu25[/i] 於 2021-5-1 21:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22737&ptid=3512][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
發現還沒有人PO
想問13, 20
非常感謝 [/quote]
#13
已知\(z\ne 1\)，且\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)[u] [/u]。
[解答]
令w為x^7=1的一根
則w+w^2+w^3+w^4+w^5+w^6= -1
且(w+w^2+w^4)(w^3+w^5+w^6)=2
所以(w+w^2+w^4)及(w^3+w^5+w^6)為X^2+X+2=0的兩根
所求w+w^2+w^4= (-1+√ 7*i)/2或 (-1-√ 7*i)/2
\( \omega \)為\( z^7=1 \)之虛根，試求
甲、以\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)，\( \omega^3+\omega^5+\omega^6 \)為兩根之二次方程式
乙、求\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)之值
(99屏東女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2649[/url])
113.4.25補充
設虛數\(z\)滿足\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)？
(113彰化高中，[url]https://math.pro/db/thread-3847-1-1.html[/url])
回復 2# bugmens 的帖子
20從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為[u] [/u]。
[解答]
設 \(\theta\) 為相鄰兩點最大容忍的圓心角
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1^2+1^2-\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2\times1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
因此 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\displaystyle \frac{2\pi}{2020}x<\frac{\pi}{6}\) 得 \(x\leq168\)(相鄰兩點最多只能隔168個間隔)
因此任取兩點滿足條件的機率為 \(\displaystyle 1\times \frac{168\times2}{2020-1}=\frac{112}{673}\)
請教第9題
我的想法是 第一次 1A3B 機率是 C(4,4)*C(4,1)*2/P(10,4) 其中 C(4,1)*2 為 某個位置對 另外三個皆不對的可能性第二次 4A 則是 1/4!
但算出來跟答案不太一樣 可以請教一下哪邊有疏漏嗎??
回復 5# matsunaga2034 的帖子
1 A 3 B 後，知道有一個位置對了，不可能把 4 個數字都大風吹了先任猜一個位置是對的，剩下三個位置有 2 種猜法
從 1 A 3 B 到 4 A 的機率是 1 / (4 * 2)
回復 6# thepiano 的帖子
原來如此 感謝~15
請問15題怎麼算？回復 8# math1 的帖子
第 15 題\(n\in N\)，已知\(a_1=1\)，且\(\displaystyle \frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n}\)時，\(f(x)=a_n x^n\)，若\(f(x)\)在區間\((0,1]\)為連續，則\(a_n=\)[u] [/u]。
[解答]
1/2 < x <= 1，f(x) = (a_1)x
1/3 < x <= 1/2，f(x) = (a_2)x^2
1/4 < x <= 1/3，f(x) = (a_3)x^3
:
:
由於 f(x) 在 (0，1] 連續
(a_1)(1/2) = (a_2)(1/2)^2
a_2 = 2a_1
(a_2)(1/3)^2 = (a_3)(1/3)^2
a_3 = 3a_2
a_1 = 1，a_n = n!
回復 8# math1 的帖子
同「106臺中一中」第10題12,16
請教12,16題，感恩~回復 11# jeanvictor 的帖子
16.已知三次函數\(y=f(x)\)的廣域特徵圖形近似\(y=-2x^3\)，在\(x=-2\)附近的一次近似為\(y=-2x-1\)，且\(y=f(x)\)圖形的對稱中心為\((-2,k)\)，試求\(f(1.99)=\)[u] [/u]。
[解答]
\(f(x)=-2(x+2)^3-2(x+2)+3\)
所求\(f(1.99)=-2(3.99)^3-2(3.99)+3=-132.022398\)
回復 11# jeanvictor 的帖子
第 12 題矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為[u] [/u]。
[解答]
請參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=9438#p9438[/url]
回復 13# thepiano 的帖子
謝謝satsuki、thepiano老師~20題另解
從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為[u] [/u]。不確定這樣是否可行，請各位老師指教，謝謝
[attach]6035[/attach]
請教第10題
板上老師好請問一下a(2)=3,a(3)=2...知a(n)=2^n-1
帶入 a(n+1)=pa(n)+k 得2^(n+1)-1=p(2^n-1)+k 再利用a(2)=3,a(3)=7
n=1時,a(2)=pa(1)+k, 3=p+k......(1)
n=2時,a(3)=pa(2)+k, 7=3p+k......(2)
p=2,k=1 想問哪裡做錯了 ?
回復 16# anyway13 的帖子
a_2=8,a_3=26，題目好像看錯了！每一個移動要經過c，是不是沒經過！回復17# PDEMAN的帖子
感謝PDEMAN老師回復 想再請問一下這和下面連結的河內塔,不是同一種嗎?
[url]http://www.mathland.idv.tw/life/hanoirecursion.htm[/url]
回復 17# PDEMAN 的帖子
PDEMAN老師好 這兩種的確有些許差異只是想請問一下 a2=8,a3=26在考場的時候 要怎麼樣才能迅速知道呢?
(a2=8,a3=26 小弟是用笨方法一個一個排出來才知道)
回復 19# anyway13 的帖子
你可參考2樓bugmens 老師的連結你貼的，每步沒有每一個柱子都經過！
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