110高雄中學
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更正答案：1.(2)\(\displaystyle\frac{8}{3}\)
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110.6.25版主補充
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第 3 題四位數 1000a + 100b + 10c + d 是 99 的倍數
10(a + c) + (b + d) 是 99 的倍數
由於各位數字相異
a + c = 9，b + d = 9
(a，c) = (1，8)、(2，7)、(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)、(7，2)、(8，1)、(9，0)
(b，d) = (0，9)、 (1，8)、(2，7)、(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)、(7，2)、(8，1)、(9，0)
每組 (a，c) 可和 8 組 (b，d) 搭配
所求機率 = (9 * 8) / (9 * 9 * 8 * 7) = 1 / 63 \(a_{n+1}=\frac{4}{5}a_n+\frac{1}{5}a_{n-1}\)，\(a_1=1,a_2=3\)
(1)\(a_n\)(2)\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\) 請教這題
[attach]5933[/attach] 填11
很用力回想的記憶版2.0
因為成績太差，徵求全部答案 第 15 題z = x + yi，-1 ＜ x ＜ 0，0 ＜ y ＜ 1
|z| = 1，x^2 + y^2 = 1
z^3 + z^2 + z + 1 = (z^2 + 1)(z + 1)
| z^2 + 1 |^2 = | (x^2 - y^2 + 1) + (2xy)i |^2 = (x^2 - y^2 + 1)^2 + (2xy)^2 = 4x^2
| z + 1 |^2 = | (x + 1) + (y)i |^2 = (x + 1)^2 + y^2 = 2x + 2
|z^3 + z^2 + z + 1| = √[4x^2 * (2x + 2)] = 2√2 * √(x^3 + x^2) ≦ 2√2 * √(4/27) = (4/9)√6 第 8 題
P_0(2x_0，2y_0)、P_1(2x_1，2y_1)、P_2(2x_2，2y_2)、P_3(2x_3，2y_3)、P_4(2x_4，2y_4)
A(x_0 + x_1，y_0 + y_1)、B(x_1 + x_2，y_1 + y_2)、C(x_2 + x_3，y_2 + y_3)、D(x_3 + x_4，y_3 + y_4)
AC 中點 (-1/3，-2/3)
x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = - 2/3
y_0 + y_1 + y_2 + y_3 = - 4/3
BD 中點 (8/3，10/3)
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16/3
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20/3
x_4 - x_0 = 16/3 - (-2/3) = 6
y_4 - y_0 = 20/3 - (-4/3) = 8
P_0P_4 = √[(2x_4 - 2x_0)^2 + (2y_4 - 2y_0)^2] = 20
第12題
12題第15題
另解[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-1 22:39 編輯 [/i]] 第 9 題
(1) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2n - 1) - 1/(2n)
= [1 + 1/2 + ... + 1/(2n - 1) + 1/(2n)] - [1 + 1/2 + ... + 1/(n - 1) + 1/(n)]
= S_(2n) - S_n = ln2 + r_(2n) - r_n
當 n → ∞，所求為 ln2
(2) 1/(1 * 3) + 1/(2 * 5) + 1/(3 * 7) + ... + 1/[n(2n + 1)]
= 2/(2 * 3) + 2/(4 * 5) + 2/(6 * 7) + ... + 2/[2n(2n + 1)]
= 2{[(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)] - [(1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n + 1)]}
= 2{S_n / 2 - [S_(2n + 1) - 1 - S_n / 2]}
= 2[S_n - S_(2n + 1) + 1]
= 2{ln[n / (2n + 1)] + r_n - r_(2n + 1) + 1]
當 n → ∞，所求為 2 - 2ln2
第6題
第六題第2題
第二題 第二題學校好心湊好數據了，應該不用用PDE老師的牛刀原式=(sinx+cosx+2)^2-4
另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完 [quote]原帖由 [i]cut6997[/i] 於 2021-5-2 00:22 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22749&ptid=3510][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題學校好心湊好數據了，應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4
另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完 [/quote]
令\(M_1=\left(\begin{array}.2&-3&2\\1&-1&1\\3&2&2\end{array}\right)\)，\(M_2=\left(\begin{array}.6&5&-1\\2&1&4\\1&3&-3\end{array}\right)\)，
\(K=\left(\begin{array}.a&b&0\\c&d&0\\e&f&0\end{array}\right)\)
因為\(det(M_1)\neq0,det(M_2)\neq0\)
所以\(M_1,M_2\)都可以變成基本列運算的組合。
則\(M_2×M_1^{-1}×K=\left(\begin{array}.2&15&0\\-12&8&0\\19&4&0\end{array}\right)\)
所得的左邊兩行即是所求 對一下答案，有錯的，還請告知，謝謝
1. (1) \( a_{n}=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}(\frac{-1}{5})^{n-2} \)
(2)[u] \( \frac 53 \) 抱歉手殘寫錯，謝謝 piano 老師更正[/u]
\( \frac 83 \)
2. \( 2-4\sqrt{2} \)
3. \( \displaystyle \frac{1}{63} \)
4. \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. 必存在，簡略說明：令 \( A=[a_{ij}]_{3\times3}, \det (A-I) = 0 \)
6. \( 5+25\sqrt{2} \)
7. \( \displaystyle (-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4},0) \) (單位長 6400 公里)
8. 20
9. (1) \( \ln 2 \)
(2) \( 2 - 2 \ln 2 \)
10. 收斂，簡略說明：各數皆正，交換 Σ 順序，變成2020 個無窮等比級數和
11. 2
12. 250 cm
13. \( (2,-12,19,15,8,4) \)
14. 略，簡略說明：排序，依 \( x_i \) 分段論論目標式的遞增遞減。
15. \( \displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9} \)
供參，若有誤，敬請說明。
感謝BambooLotus老師與son249老師提供題目；感謝寸絲老師提供答案。
提供電子檔，容易保存。
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老師再麻煩您收個短消息 複試門檻52[url]https://tinyurl.com/33ywb32m[/url] 請教第一題?
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