回復 34# math1 的帖子
填充 6. 認真討論一下各種情形單看一色球，球數分布在兩袋的情形有 (5,5), (3,7), (1,9), (2,8), (4,6) 及兩數交換共9種情形。
(1) 三色皆各 5 個，有1種放法 \({5^3} = {5^3}\)。
(2) 恰一色 5個，有 \(3 \times 8 = 24\) ( \( 5x(10-x) = 5(10-x)x \)
接下就是檢查沒有其它可能，注意到如果有 (x,10-x), (10-x,x)，那第三色僅能 (5,5) 已在上方數過。再利用質因數的特性，就可以說明以下，不會發生滿足題意的乘積相等。
(3) 沒有任何顏色 5個，
某色球有 7 個的話，另一袋也必某色有 7 個，就會是 (2) 的情況。
故(3)不會有某色球分布為 (3,7) 或 (7,3)。
某色球有 9 個的話，另一袋顏色球數只能用 \( 6 \times 6 \) 配出 9 的倍數(不能用 9，否則就是(2)的情況)
餘下 (2,8), (4,6), (8,2), (6,4)，同樣地論證也可以得到無法搭配出乘積相等。
故所求為 \(1 + 24 = 25\)
填充4
另一個想法[[i] 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-28 10:53 編輯 [/i]] 填充2
先算出兩歪斜線距及點座標
稱 GE 中點為 Q、AC 中點為 P
可知方體的高度為 \( PQ = 3\)、且 \(AC=GE=6 \)
令 AC 直線之方向向量 \( \vec{p}=(1,2,-2) \)、GE 直線之方向向量 \(\vec{q}=(-3,4,1) \)
由外積性質，把 \( \vec{p} ,\vec{q} \) 各自調整為長度 6 後做外積取絕對值，可得底面積的兩倍
故答案為 \(\frac{1}{2}\cdot\|{2 \vec{p}\times\frac{6}{\sqrt{26}}\vec{q}}\|\cdot 3\)
[[i] 本帖最後由 craig100 於 2021-4-27 22:33 編輯 [/i]]
回復 29# thepiano 的帖子
可以請教第七題的後續如何運算嗎?第七題 請參考
借用一下鋼琴老師畫的圖首先計算R的面積: (1-pi/4)*4=4-pi
其實計算的為"柱體" 想像一堆R疊在一起變成類似"長方形"的柱體V
V=R*H 其中 H=R對著y=-x+1繞一圈的圓周長,H=2*(1/(根號2))*(pi)=(根號2)pi 式子中間的(1/(根號2))就是鋼琴老師的綠線長度
所以 V=4(根號2)pi-(根號2)*(pi)*(pi)
Note: 一開始真的以為是四個四分之一圓在繞y=-x+1 謝謝鋼琴老師以及PDEMAN老師的解答!
計算2.
不妨設 a>=b>=c>0 , 再設 f(n)=a^n+b^n+c^n , m>=k>=t>=0則因為 f(m+k)f(m-k)-f(m+t)f(m-t)
= (ab)^(m-k)*(a^(k+t)-b^(k+t))*(a^(k-t)-b^(k-t))
+(ac)^(m-k)*(a^(k+t)-c^(k+t))*(a^(k-t)-c^(k-t))
+(bc)^(m-k)*(b^(k+t)-c^(k+t))*(b^(k-t)-c^(k-t)) >=0
可知 f(m-t)f(m+t)<=f(m-k)f(m+k)
先取 m=3.5 ,k=3.5,t=0.5 後取 m=4 ,k=4,t=3 因為 a+b+c>=3* (3)ㄏ(abc)=3=a^0+b^0+c^0 , 所以可得
0<分母<=(a^0+b^0+c^0)(a^7+b^7+c^7)<=(a+b+c)(a^7+b^7+c^7)<=(a^0+b^0+c^0)(a^8+b^8+c^8) =3分子
所以原式=分子/分母>=1/3 , 故最小值=1/3
由上可知 分子由 f(8) 改為f(9),f(10),f(11) .......答案還是不會變的.
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2021-4-28 15:37 編輯 [/i]] 請教計算一的第二小題
回復 48# enlighten 的帖子
計算 1 (2)logx (以 3 為底) = -1/3 ，在 (0，1) 有一解 x_1
由於圖形對稱於 x = 1，所以在 (1，2) 也有一解 x_2
(x_1 + x_2) / 2 = 1
x_1 + x_2 = 2
由於是週期為 4 的函數
所以在 (4，6) 也有兩根 x_3 和 x_4
x_3 + x_4 = 10
在 (8，10) 也有兩根 x_5 和 x_6
x_5 + x_6 = 18
所求 = 2 + 10 + 18 = 30
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-29 12:05 編輯 [/i]]
回復 34# math1 的帖子
計算第 4 題(2) 用分部積分可得 ∫f(x)dx = 2 √x * lnx - 4√x + C
從 1 積到 e^2 是 4
(3) 所求 = π∫[(lnx)^2 / x]dx (從 1 積到 e^2) = 8/3
回復 40# thepiano 的帖子
請問老師k>=7之後如何判斷3*2^(x-2)無法分解成兩個差2的整數相乘??回復 51# Uukuokuo 的帖子
由於要分成兩個差 2 的整數相乘，那兩個數要愈接近愈好3 * 2^5，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^3
兩個數差 2^2 * (3 - 2) = 4
3 * 2^6，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^4
兩個數差 2^2 * (2^2 - 3) = 4
其餘的比照辦理
回復 52# thepiano 的帖子
感恩，謝謝回復 20# peter0210 的帖子
您好，想借這一題來請教。因為這題剛好是三次方後，y的次方皆為整數 (原x次方剛好一個餘2一個餘1)。
想請問如果像是 f(x)=x^12+6*x^11-1 這樣子的話，想求其12個根的三次方為根的方程式有辦法嗎？
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想了又想，就突然自己想出來了
令 y=x^3
f(x)=y^4+6x^(11/3)-1=0
--> (y^4-1)^3 = 6*x^11
[[i] 本帖最後由 L.Y. 於 2021-6-2 23:52 編輯 [/i]]
回復 54# L.Y. 的帖子
一般都是這麼做，但其中有一些小細節，不是很確定、明白，借此順帶提出，看看有沒有什麼好答案。
這樣的代換，會保證原本每個根的三次方，都是新的方程式的根，
但應該不保證新的方程式的 12 個根就是原 12 個根的三次方
裡面牽扯到的是重根問題，以下舉一個例子，比較容易明白我想說什麼
例如：方程式 \( x^2 = 4 \) 的兩根為 \( x = -2, 2 \)
若要找以此兩個根的平方為根的二次方程式，
仿造上面將等式的左右兩側平方，則得 \( (x^2)^2 = 16 \)
再把 \( x^2 \) 以 \( y \) 代換掉，則得方程式 \( y^2 = 16 \)
我們可以看到，\( y = 2^2 = (-2)^2 = 4 \) 都是新方程式的根，
但 \( y^2 = 16 \) 的解為 \( y = 4, -4 \)，其中 \( -4 \) 並不是原 x 方程式根的平方。
也就是說 \( y^2 = 16 \) 並不是我們要找的方程式。
重做一次代換，先將 4 移項，\( (x^2 -4)^2 =0 \) 代換之後寫成 \( (y-4)^2 = 0 \)
新方程式 y 的兩根為 4, 4。這組就是正確的達到我們的要求了。
以上兩個代換，還有 54# 的代換，有一些小細節上的不同，
哪個環節的不同，造就了結果的差異，如何完整的說明 #54 的結果必然正確?
回復 55# tsusy 的帖子
寸絲老師您好，謝謝您的想法，都沒注意到這個細節！
我還菜想不到什麼解釋
針對我自己的題目我算了一下三次方後會不會有重根的出現
算起來是沒有的，希望對這題有更嚴謹了一些
回復 45# anyway13 的帖子
請教老師，這題之所以可以這樣做，是因為R是對稱圖形且知道中心位置嗎？回復 57# jerryborg123 的帖子
這是Pappus定理 只要知道R的中心位置都可以這樣做只是該題圖形的中心座標很顯然就是了
回復 49# thepiano 的帖子
不好意思，可以請鋼琴老師說明為什麼在（0,1）有解呀？不是應該y＝－1／3嗎？回復 59# math1 的帖子
這裡的 (0，1) 是指在 x = 0 和 1 之間[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2022-3-29 07:42 編輯 [/i]]