請教計算2第二小題
版上老師好計算二第二小題,請問有沒有比較快的做法
因為訂好坐標在一個 一個算很慢很複雜
回復 41# anyway13 的帖子
計算二多項式方程式\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0\)的四根為\(\alpha,\beta,\gamma,\phi\)
(1)試求\(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}++\frac{1}{1-\phi}\)。(5分)
(2)在複數平面上一點\(1+i\)，此點為\(A\)，\(f(x)=0\)的四根在複數平面上為\(P,Q,R,S\)
試求\(\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{AR}\times\overline{AS}=\)？(5分)
[解答]
(2)
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x - α)(x - β)(x - γ)(x - ψ)
AP * AQ * AR * AS = |[(1 + i) - α][(1 + i) - β][(1 + i) - γ][(1 + i) - ψ]|
= |(1 + i)^4 + (1 + i)^3 + (1 + i)^2 + (1 + i) + 1|
回復 42# thepiano的帖子
謝謝鋼琴師。 版上老師好請教計算二第一小題, 謝謝
回復 44# s9757140 的帖子
計算二(1)\(\begin{align}
& {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)\left( x-\phi \right) \\
& \frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-\beta }+\frac{1}{1-\gamma }+\frac{1}{1-\phi } \\
& =\frac{\left( 1-\beta \right)\left( 1-\gamma \right)\left( 1-\phi \right)+\left( 1-\alpha \right)\left( 1-\gamma \right)\left( 1-\phi \right)+\left( 1-\alpha \right)\left( 1-\beta \right)\left( 1-\phi \right)+\left( 1-\alpha \right)\left( 1-\beta \right)\left( 1-\gamma \right)}{\left( 1-\alpha \right)\left( 1-\beta \right)\left( 1-\gamma \right)\left( 1-\phi \right)} \\
& =\frac{f\ '\left( 1 \right)}{f\left( 1 \right)} \\
& =2 \\
\end{align}\)
回復 45# thepiano 的帖子
非常感謝您回覆 16# CyberCat 的帖子
老師好，請教老師，後面算幾應當如何做?謝謝!回覆 47# numzero 的帖子
原式等同\(\displaystyle |\frac{13a^2+24a+52}{a}|\)若\(\displaystyle a>0 \Rightarrow 13a+\frac{52}{a}+24\geq 52+24=76\)
若\(\displaystyle a<0 \Rightarrow 13a+\frac{52}{a}+24\leq -52+24=-28\)
故\(\displaystyle |\frac{13a^2+24a+52}{a}|\geq 28\)