已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
求過A點平行線，得弦心距=1後，半弦長=7
重訂數據，設A'(-12,0)，O'(-5,1)，C': \((x+5)^2+(y-1)^2=50\)，投影線在x軸上
則B點會在y軸上，有兩解x=0代入得y=6或-4(-4時為最小值)
B(0,6)，AB最大值=\(6\sqrt{5}\)
填充9.
已知四個實數\(a,b,c,d\)，滿足\(abcd=-5\)，\(a(b-1)(c-1)(d-1)=11\)，\(a(b-2)(c-2)(d-2)=33\)，\(a(b-3)(c-3)(d-3)=73\)，則\(a(b+1)(c+1)(d+1)\)的值為[u] [/u]。[解答]
設 f(x)=x^3+px^2+qx+5/a=0 的三根為b,c,d , 此時bcd=-5/a,它符合了abcd=-5
則 f(x+1)=0 三根為b-1,c-1,d-1 =>(b-1)(c-1)(d-1)= -(1+p+q+5/a)=11/a => p+q=-1-16/a
則 f(x+2)=0 三根為b-2,c-2,d-2 =>(b-2)(c-2)(d-2)= -(8+4p+2q+5/a)=33/a => 2p+q=-4-19/a
則 f(x+3)=0 三根為b-3,c-3,d-3 =>(b-3)(c-3)(d-3)= -(27+9p+3q+5/a)=73/a => 3p+q=-9-26/a
可得 p=-3-3/a=-5-7/a => a=-2 , p=-3/2 , q=17/2
f(x-1)=0 三根為b+1,c+1,d+1 => (b+1)(c+1)(d+1)=-(-1+p-q+5/a)=27/2
=> a(b+1)(c+1)(d+1)=-27
回復 2# bugmens 的帖子
可以請教詳細過程嗎?回復 23# enlighten 的帖子
先找出折起來的角DAB或DCB的cos再用餘弦定理就可以得到對邊了 想請問計算2的答案是2 和 根號41 嗎?
回復 25# ibvtys 的帖子
對 計算一已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
不過很暴力就是了
把整個圖形平移，圓形平移變成一個圓心在原點的圓，得\(x^2+y^2=50\)
則平移過後的點\(A'(-5，5)\)，然後令\(B(5\sqrt2 cos\theta,5\sqrt2 sin\theta)\)
得\(\vec {AB}=(5\sqrt2 cos\theta +5,5\sqrt2 sin\theta -5)\)，所求為\(\displaystyle \sqrt{50\sqrt2 (cos\theta-sin\theta)+100}\)
之後再用正射影長公式列出關係式
解三角函數，代回去求最大值
填充13
在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta\)(\(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ}\))，則\(\overline{BD}\)的長度為[u] [/u](以\(\theta\)表示)。[解答]
坐標化解法
回復 18# ycj 的帖子
如果，倒過來，要先 找一般項，那怎麼找? 再反推 起始值回復 1# Superconan 的帖子
填1若滿足\(2^k \cdot 4^m \cdot 8^n=512\)之正整數\((k,m,n)\)共有\(a\)組，滿足\(4^p \cdot 3^q \cdot 6^r=2^{11} \cdot 6^{16}\)之正整數\((p,q,r)\)共有\(b\)組，則數對\((a,b)=\)[u] [/u]。
[解答]
回復 30# nanpolend 的帖子
填2設\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(u\)均為實數，方陣\(A=\left[\matrix{x&y\cr z&u}\right]\)、\(B=\left[\matrix{1&4\cr -1&2}\right]\)、\(C=\left[\matrix{4&-26\cr -3&18}\right]\)，已知\(A\)的反方陣乘以\(B\)等於\(C\)，則序對\((x,y,z,u)=\)[u] [/u]。
[解答]
回復 31# nanpolend 的帖子
填3已知\(x>1\)且滿足\(log_4 x-log_x 8+2=0\)，則\(2(log_2 x)^3+9(log_2 x)-7(log_2 x)-3=\)[u] [/u]。
回復 32# nanpolend 的帖子
填四有一體積為\(18\sqrt{3}\)的四面體\(ABCD\)，若\(\Delta ABC\)為邊長6的正三角形，且\(\overline{CD}=\overline{BD}\)，半平面\(ABC\)和半平面\(DBC\)的兩面角為\(60^{\circ}\)，則\(\overline{AD}=\)[u] [/u]。
[解答]
回復 10# son249 的帖子
填5已知線段\(\overline{PQ}\)之長為10，且線段\(\overline{PQ}\)上有一點\(R\)使\(\overline{PR}:\overline{RQ}=3:2\)。若\(P\)在\(x\)軸上移動，\(Q\)在\(y\)軸上移動，動點\(R\)所形成的圖形為\(\Gamma\)，若點\((2,0)\)與\(\Gamma\)上之點，距離的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)[u] [/u]。
[解答]
回復 34# nanpolend 的帖子
填12若\(x\in R\)，滿足\(6^{x+1}-3\cdot 8^x+2 \cdot 27^x-36^x=0\)，則\(\displaystyle \frac{x}{2x-1}=\)[u] [/u]。
[解答]
回復 1# Superconan 的帖子
請教填充7做法回復 36# nanpolend 的帖子
第 7 題令 f(x) = a(x - 1)(x + 1)(x - 2)^2(x + 2)^2
......
回復 37# thepiano 的帖子
填7若\(f(x)\)為滿足\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=36\)、\(\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{f(x)}{x+1}=-36\)、\(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}=0\)、\(\displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x+2}=0\)之最低次多項式，則\(f(3)=\)[u] [/u]。
[解答]
詳細作法