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Superconan 發表於 2021-4-24 20:14

110臺中一中

週一應該會公告題目，簡單打一下還記得的關鍵字。
想請問填充第 11 題。
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110.04.29
計算證明題
感謝 BambooLotus 老師分享試題，
我用老師記得的數據與我的印象，推論出直線方程式的常數32，打成電子檔與各位分享。

110.05.21
臺中一中在 05/13 公告一份測驗題答案的檔案，其中包含計算證明題的試題與答案。因此，我將原本記憶版的檔案重新打字，改為跟官方一樣的敘述與數據，跟各位分享。

bugmens 發表於 2021-4-24 21:56

13.
在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿著對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ})\)，則\(\overline{BD}\)的長度為[u]　　　[/u](以\(\theta\)表示)。
其他相關題目[url]https://math.pro/db/thread-567-1-1.html[/url]

thepiano 發表於 2021-4-24 23:42

回復 1# Superconan 的帖子

第 11 題
有\(A\)、\(B\)、\(C\)三個箱子，每箱內皆有六顆球，分別為兩個1號球、兩個2號球、兩個3號球。今甲、乙兩人均自每個箱子內各取一球，甲先取、乙後取，取後皆不放回，則兩人各取得三個球。若自\(A\)、\(B\)、\(C\)箱內取得球的號碼分別為百位數、十位數、個位數，則乙取得的三位數大於甲取得的三位數的機率為[u]　　　[/u]。
[解答]
甲和乙從 A 袋中，抽出一樣號碼的機率 = 1/5
甲抽出的三位數 = 乙抽出的三位數的機率 = (1/5)^3
所求 = [1 - (1/5)^3] / 2

mean4136 發表於 2021-4-26 10:04

公布填充題及答案了

110.4.26版主補充
將檔案移到第一篇，方便網友下載

BambooLotus 發表於 2021-4-26 10:14

結果試題沒有公布計算題，小弟幫忙背個題目出來，日子過有點久了，有點健忘

計算1
在平面座標有一圓\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)，圓上一點\(A(-6,9)\)和一點B，
對直線\(3x+4y+...=0\)(常數項忘了但不影響答案)的正射影長為\(12\)，試求\(AB\)向量長的最大值。(9分)
小弟算答案為\(6\sqrt{5}\)

計算2
多項式方程式\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0\)的四根為\(\alpha,\beta,\gamma,\phi\)
(1)試求\(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}++\frac{1}{1-\phi}\)。(5分)
(2)在複數平面上一點\(1+i\)，此點為\(A\)，\(f(x)=0\)的四根在複數平面上為\(P,Q,R,S\)
試求\(\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{AR}\times\overline{AS}=\)？(5分)

mean4136 發表於 2021-4-26 10:17

回復 5# BambooLotus 的帖子

請教計算1

flyinsky218 發表於 2021-4-26 13:31

回復 6# mean4136 的帖子

我用A在直線上的投影點，然後推出B的投影點B’
作直線過B’點且垂直L，會和圓交於兩點，看哪個長度大

ibvtys 發表於 2021-4-26 15:02

想請教填充12

pretext 發表於 2021-4-26 15:06

回復 8# ibvtys 的帖子

12.
若\(x\in R\)，滿足\(6^{x+1}-3 \cdot 8^x+2 \cdot 27^x-36^x=0\)，則\(\displaystyle \frac{x}{2x-1}=\)[u]　　　[/u]。
[解答]
令a=2^x,b=3^x這樣比較容易看出因式分解
原式=6ab-3a^3+2b^3-(a^2)(b^2)=0

son249 發表於 2021-4-26 15:29

請教填充第5題的最小值怪怪的

我算的最小值是16/5

ChuCH 發表於 2021-4-26 15:37

回復 10# son249 的帖子

令橢圓參數式，到(2,0)距離，配方即可

thepiano 發表於 2021-4-26 16:10

回復 10# son249 的帖子

軌跡是橢圓 x^2 / 16 + y^2 / 36 = 1
易看出最小值是 2 沒錯

yosong 發表於 2021-4-26 20:47

填充8

8.
由樣本空間\(S\)得到兩個隨機變數\(X\)、\(Y\)，已知\(E(x)=1\)、\(E(X^2)=3\)、\(E(Y)=2\)、\(E(Y^2)=5\)、\(E(XY)=3\)，則\(Var(3X-2Y+7)=\)[u]　　　[/u]。
[解答]
解法參考

peter0210 發表於 2021-4-26 21:10

填充9
已知四個實數\(a,b,c,d\)，滿足\(abcd=-5\)，\(a(b-1)(c-1)(d-1)=11\)，\(a(b-2)(c-2)(d-2)=33\)，\(a(b-3)(c-3)(d-3)=73\)，則\(a(b+1)(c+1)(d+1)\)的值為[u]　　　[/u]。
[解答]

matsunaga2034 發表於 2021-4-27 00:14

想請教填充10

CyberCat 發表於 2021-4-27 01:06

回復 15# matsunaga2034 的帖子

10.
已知三次函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)(其中\(a,b,c,d\in R\)且\(a\ne 0\))，若函數\(f(x)\)的對稱中心為\((1,2)\)，且局部看函數\(y=f(x)\)的圖形在\(x=2\)附近近似於一條斜率為\(-4\)的直線，則\(\displaystyle \Bigg\vert\;\frac{b^2+c^2+d^2}{a}\Bigg\vert\;\)的最小值為[u]　　　[/u]。
[解答]
由三次函數對稱點性質可得
-b/3a=1 得 b=-3a
又f'(2)=12a+4b+c=-4
可以推得c=-4,d=6+2a
將 b=-3a,c=-4,d=6+2a代入題目
再用算幾就可以處理了

happysad 發表於 2021-4-27 12:41

請問填充6該怎麼作答? 謝謝。

ycj 發表於 2021-4-27 13:01

回復 17# happysad 的帖子

6.
串生創造一個數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，若\(a_1=x\)、\(a_2=y\)(\(x,y\)為正整數)，且對所有正整數\(n\)皆滿足\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)。已知創造出的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中有一項是115，則\(x+y\)的最小值為[u]　　　[/u]。
[解答]
Fibonacci
\(x,y,x+y,x+2y,2x+3y,3x+5y,5x+8y,8x+13y,13x+21y,21x+34y,34x+55y\)

\(x,y\)為正整數，不難從後面找回來，第一個找到的\(x+y\)最小
\(x=4,y=3\)時\(13x+21y=115\)

peter0210 發表於 2021-4-27 13:11

計算1
已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
\(B\)可能有兩點，\(AB\)線段最大為\(A\)至\(B2\)的距離\(=6\sqrt{5}\)

happysad 發表於 2021-4-27 13:32

感謝 ycj 大大的回覆~~~

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