110臺南女中
110.04.19數學科：填充題第 19 題答案更正為：48
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110.04.20
數學科：填充題第 10 題答案更正為：23/9
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[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2021-4-20 15:16 編輯 [/i]] 12.
試問滿足\(m^3+n^3+99mn=33^3\)且\(m \cdot n\ge 0\)的序對\((m,n)\)有[u] [/u]組整數解。
試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解？(A)2 (B)3 (C)33 (D)35 (E)99
(102玉里高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847[/url])
13.
有100扇門，分別編號1~100號，一開始全部都是關閉，按第一次為開，第二次為關，第三次為開…依此類推(也就是按奇數次為開、偶數次為關)，編號 1~100 號同學，但是6號同學沒來，只有 99 位同學。若每人將自己編號的倍數按一次，例如:1號同學將全部的門都按1次，2號同學會將 2、4、6、8、…、100 的門都按 1 次。請問這100 扇門最後有[u] [/u]扇門是打開的？
完全平方數
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=786&page=1#pid1446[/url]
22.
\(\Delta ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，且\(3\overline{AD}=2\overline{DE}=\overline{EB}\)，已知\(∠ACD=\alpha\)，\(∠DCE=\beta\)，\(∠ECB=\gamma\)，\(\displaystyle \frac{sin\alpha\cdot sin\gamma}{sin\beta}\)之值為[u] [/u]。
直角\(\Delta ABC\)的斜邊為\(\overline{AB}\)，若\(\overline{AC}=1\)，\(\overline{BC}=3\)，\(\overline{AB}\)的三等分點為\(D\)、\(E\)，且\(∠ACD=\alpha\)，\(∠DCE=\beta\)，\(∠ECB=\gamma\)。則\(\displaystyle \frac{sin\beta}{sin\alpha \cdot sin\gamma}=\)[u] [/u]。
(106台中一中，[url]https://math.pro/db/thread-2738-1-1.html[/url])
想請教第5題
第5題令xy=t,則可以整理出所求為14t(t-23)/(7t-1) +9
算出t=15+4sqr(14)代入硬暴可以得到答案
可是我在考場沒勇氣帶入一個看起來消不掉的根號
想請教各位老師正確的作法
回復 1# Superconan 的帖子
#12 考古題m^3+n^3+99m*n=33^3
m^3+n^3+(-33)^3-3m*n*(-33)=(1/2)[m+n-33][(m-n)² +(n+33)² +(m+33)² ]=0
m+n=33 或 m=n= -33
因為m,n>=0 ,所以
(m,n)=(0,33),(1,32),(2,31),...................,(33,0)及(-33,-33)
共35組
＃13 考古題
(98全國聯招,選擇1)
回復 3# cut6997 的帖子
因為(7x-1/y)(y-7/x)=7[xy+1/(xy)]-50=7*30-50=160且7x-1/y=16,所以y-7/x=10
可得2xy-20x=14
所求=(2xy-20x)+9=14+9=23
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2021-4-18 20:47 編輯 [/i]] 想請教10、11、16、19，謝謝。
回復 6# koeagle 的帖子
11倒回來換1白可換2黑或2白->+1白或+2黑
1黑可換1白和1黑->+1白
故若最後為1黑則起始黑必為奇數
回復 6# koeagle 的帖子
第 11 題每次操作後，黑球的數量一直維持偶數，所以剩 1 顆黑球的機率是 0
回復 6# koeagle 的帖子
第 16 題視為拋物線 y^2 = 4x 上一點 (t^2，2t) 到 (5，3) 的距離減去 t^2
所求即 (5，3) 到焦點 (1，0) 的距離加 1
回復 1# Superconan 的帖子
填充 19. 公告答案 24，應為 48，以下為算式。設空間中三向量 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)、\( \vec{c} \)所展開的四面體體積為 \( V \)，\( S= \{P∣\vec{OP}= \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c} \)，\( |\alpha| \le 1 \)， \( |\alpha+\beta| \le 1 \) ， \( |\alpha+\beta+\gamma| \le1 \} \) 的體積為 \( kV \)，則實數 \( k \) 的值為__________。
解. 考慮 \( e = \alpha \), \( f = \alpha +\beta \), \( g = \alpha + \beta + \gamma \)
\( F(e,f,g) = \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c} = e\vec{a}+ (f-e) \vec{b}+ (g-f) \vec{c} \)
\( J_{F}(e,f,g) = \begin{bmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{bmatrix}^{T} \)
\( kv = |\int_{S}dxdydz| =\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}| \begin{vmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}|dedfdg=|\begin{vmatrix}\vec{a}\\
\vec{b}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}| \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}dedfdg = 6V\times8 = 48V \) 計算四
雖然校方已經有這題的詳解了，不過還是分享一下
[url]https://www.geogebra.org/m/d3mgqnsd[/url]
因為做法習慣不同，所以答案略為不同，但本質是一樣的
我做出來的是\(y=1-\cos(x)\)
而若半徑為\(r\)、截面與底面的夾角為\(\beta\)
則為 \(\displaystyle y=r\left(1-\cos\left(\frac{x}{r}\right) \right)\tan\beta \)
回復 6# koeagle 的帖子
填充 10. 算出來，還是和答案不同，空間感不是很好，如有錯誤，還請指正平面 H 和平面 ABC 交於 \( \overline{BC'} \)，其中 \( C'(0,3,0) \)
平面 H 和平面 DEF 交於 \( \overline{E'F'} \)，其中 \( E'(\frac23,\frac13,2) \), \( F'(0,1,2) \)
平面 H 和平面 BCFE 交於 \( \overline{BC''} \)，其中 \( C''(0,2,1) \)
平面 H 和直線 AD 交於 \( D'(0,0,3) \)，
圖形如下參考
[attach]5867[/attach]
所求體積 = 角錐 ABC'D' - 角錐 DE'F'D' - 角錐 CC'C''B (皆體積)
\( \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}| - \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}\frac23 & \frac13 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}| - \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}| = 3-\frac{1}{9}-\frac{3}{9} = \frac{23}{9} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:31 編輯 [/i]] 第六題是不是要算 \(\sum r_n\) 啊？
我算 \(\sum a_n\) 發散
[[i] 本帖最後由 craig100 於 2021-4-18 21:32 編輯 [/i]] 想請教1.3.9
回復 13# craig100 的帖子
填充 6. 根與係數關係知 \( a_n =r_n +r_{n+1} \)若 \( \sum r_n \) 收斂，則 \( \sum a_n \) 也會收斂。
反之，若 \( \sum a_n \) 發散，則 \( \sum r_n \) 也會發散。
再檢查一下細節吧，\( a_n, r_n \) 都和等比相關，級數和應當是會收斂的
回復 14# ibvtys 的帖子
第1題，在沒有 計算機的 估算底下 如何找最大值呢? 也想請教請教因為我是用微分等於零 然後再用 計算機估算的
考試沒有計算機
那怎麼找呢 ?
回復 13# craig100 的帖子
我是列前幾項就有找到規律，奇數項跟偶數項會是等比數列，就直接無窮等比級數回復 16# chihming 的帖子
填充1. \(k,k+1 \) 代入相除 1. 利用比較法 設n=k為最大值則n=k代入需大於等於n=k+1代入
9.分別假設角A和角Q利用共用邊找出關係
配合面積公式 會造出一元二次式 求極值即可
[[i] 本帖最後由 andy2361336 於 2021-4-18 22:08 編輯 [/i]]
回復 14# ibvtys 的帖子
第 9 題101 中正高中二招 計算題二
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008[/url]