110高雄女中
先給關鍵字1. 行列式 2. 不等式 3. 投影矩陣 4. 極限值
5. 三次函數切線 6. 旋轉體積 7. 扇形 8. 3直線找面積
9. 四次函數共線 10. 對戰問題 11. 六位數 12. 根號整
最低錄取分數：65分 Almighty老師已補完整版，我就自刪不傷大家眼睛了 印象中應該是這樣
9. y=x^4-20x^2+2x+37 想請教2、8、9，謝謝。
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第 2 題.對任意實數 \( x, y \)，由柯西不等式得
\( (x^{2}+(\sqrt{3})^{2})((\sqrt{3})^{2}+y^{2})\geq(\sqrt{3}x+\sqrt{3}y)^{2}=3(x+y)^{2} \)
將 \( (x,y)=(a,b),(b,c),(c,d),(d,a) \) 分別代入上式，並相乘得
\( \left[(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)(d^{2}+3)\right]^{2}\geq81\left[(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\right]^{2} \)
\( \Rightarrow(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)(d^{2}+3)\geq9\left|(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\right|\geq9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) \)
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8. 硬算，在\(\triangle{ABC}\)中畫圖假設\(\displaystyle m=\frac{1}{3},m=\frac{4}{5}\)夾角為A
求得\(\displaystyle \tan A=\frac{7}{19}\),\(\displaystyle sinA=\frac{7}{\sqrt{410}}\)
\(\displaystyle m=\frac{4}{5},m=\frac{-1}{4}\)夾角為C
求得\(\displaystyle tanC=\frac{-21}{16}\),\(\displaystyle sinC=\frac{21}{\sqrt{697}}\)
正弦定理求得\(\displaystyle \overline{BC}=\frac{30\sqrt{697}}{\sqrt{410}}\)
又\(\displaystyle sinB=\frac{7}{\sqrt{170}}\)
所以面積為\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \frac{30\sqrt{697}}{\sqrt{410}} \cdot \frac{7}{\sqrt{170}}=945\)
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-4-17 18:51 編輯 [/i]] 9.設直線為\(y=mx+n\)
則方程式\(x^4-20x^2+(2-m)x+(37-n)=0\)有\(a,b,c,d\)四實根
且\(a=a,b=a+t,c=a+2t,d=a+3t\)
由四根和為0得\(\displaystyle t=-\frac{2}{3}a\),可知四根為\(\displaystyle a,\frac{1}{3}a,\frac{-1}{3}a,-a\)
再由兩兩乘積為-20求得\(a^2=18\)
取\(\displaystyle d=3\sqrt2,c=\sqrt2,b=-\sqrt2,a=-3\sqrt2\) 之後就求座標
回復 6# satsuki931000 的帖子
第 8 題. 用 \( tan \) 之值，配合圖形會比較快如果有畫圖的畫，會知，在三角形在 \( L_1 \) 上的兩頂點所在的內角皆為銳角
[attach]5859[/attach]
並作 \( L_1 \) 上的高，直接用兩個正切值就可以得到高的長度及面積了
所求面積 \( =\frac{1}{2}\cdot 90\cdot\left(90\cdot\frac{7}{30}\right)=945 \)
(利用斜率及差角公式可求得圖中 \( \tan A = \frac{7}{19}, \tan B = \frac{7}{11} \) )
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提供第8題的另解回復 10# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師糾正筆誤 7.小萱從半徑為6，圓心角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)的扇形，金屬材料中剪出一個長方形\(PQRS\)，且\(\overline{PQ}\)與\(∠AOB\)的平分線\(\overline{OC}\)平行，若將長方形\(PQRS\)彎曲，使\(\overline{PQ}\)與\(\overline{RS}\)重合焊接成為圓柱的側面，則當圓柱側面的面積最小時，試求此圓柱的體積。(假設此圓柱有上下底面)
四邊形\(ABCD\)是內接於一扇形的正方形，頂點\(A\)、\(D\)分別在扇形的兩半徑上，頂點\(B\)、\(C\)在扇形的弧上，而\(M\)是扇形的弧中點。設扇形的半徑為\(r\)，而圓心角\(∠AOD=\theta\)是一銳角，則正方形\(ABCD\)的面積為[u] [/u]。(以\(r\)與\(\theta\)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url])
3條直線\(L_1,L_2,L_3\)，斜率\(\displaystyle m_1=\frac{1}{3},m_2=\frac{4}{5},m_3=-\frac{1}{4}\)，且\(L_1\)被\(L_2,L_3\)截出線段90，則圍成\(\Delta\)面積為何？
坐標平面上有三條直線\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)，其中\(L\)的斜率為\(\displaystyle \frac{1}{4}\)，\(L_1\)、\(L_2\)的斜率分別為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)、\(\displaystyle -\frac{3}{4}\)。已知\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段長為51，則\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)所決定的三角形的面積為[u] [/u]。
(108松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-3145-1-1.html[/url])
12.
令\(a_n\)為\(\sqrt{n}\)最接近的整數，求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2000}a_n\)。
類似題
設\(a_n\)表示與\(\sqrt{n}\)最接近的整數(\(n\)為正整數)，試求\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{2012}}。\)
(建中通訊解題第97題，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37) 想請教12題，
如果是取高斯的話是sum k_1^44 (2001-k^2)
可是最接近的該如何處理? 請教3, 5題，謝謝
回復 13# cut6997 的帖子
第 12 題1 有 2 個
2 有 4 個
3 有 6 個
4 有 8 個
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44 有 88 個
45 有 20 個
回復 14# liuandy 的帖子
第 5 題，也算常見的考古題了1. 設過原點 \( (0,0) \) 有三條相異直線與 \( f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 \) 相切，則實數 \( k \) 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)
2. 三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為。(107中科實中國中部)
3. 三次曲線 \( y=x^{3}+ax^{2}+x+1 \)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 \( a \) 的範圍。(101中科實中、96台中一中)
瑋岳老師的解答：[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091[/url]
4. \( a\in\mathbb{R} \)，過 \( P(a,2) \) 作 \( y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \) 的切線，若所作的切線恰有一條，求 \( a \) 的範圍。(97大里高中)
5. 三次曲線 \( y=x^{3}+kx^{2}+x+1 \)，若由原點恰可作兩條切線，試求實數 \( k \) 範圍。(102松山家商)
6. 已知函數圖形 \( \Gamma:\,f(x)=x^{3}-x \)，而點 \( P(a,0) \) 是圖形外一點，若過 \( P \) 恰可作相異三條的切線，則 \( a \) 的範圍為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。(102北門高中)
7. 平面上動點 \( P(a,b) \)，已知通過點 P 對函數 \( f(x) = -x^3 + 2x + 3 \) 圖形可做三條切線，找出符合的關係式。(106高雄女中)
回復 15# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師，茅塞頓開n與n+1中共(n+1)^2-n^2-1=2n個數
其中(n+0.5)^2=n^2+n+0.25>n^2+n
因此數量靠近n和n+1的個數對分
1有1+1
2有1+1+2
3有1+2+3
n有1+(n-1)+n=2n
回復 14# liuandy 的帖子
第 3 題依正射影公式可計算 \( (x',y') \)
\(\displaystyle \left(\frac{(x,y)\cdot(a,b)}{a^{2}+b^{2}}\right)(a,b)=\left(\frac{a^{2}x+aby}{a^{2}+b^{2}},\frac{abx+b^{2}y}{a^{2}+b^{2}}\right) \)
因此線性變換 \( T \) 的表示矩陣為 \(\displaystyle \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{bmatrix}a^{2} & ab\\
ab & b^{2}
\end{bmatrix} \) 請問7.10 10.甲隊獲勝有C(6,0)+C(7,1)+...+C(12,6)=C(13,6)
同理乙也是C(13,6)，故所求為2*C(13，6)
回復 19# jasonmv6124 的帖子
10.H的8取6*2
想法如下
視為有其中一隊獲勝第七場就停止比賽
設兩隊為A、B
不失一般性設A隊獲勝記為✔ 輸了記為✖
若A隊最終獲勝 就會出現第七個✔
比賽紀錄：☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔
那麼這7個☐最多出現6次B
反之亦然