回復 19# jasonmv6124 的帖子
第 7 題，算得有點醜，如有錯誤，還請指正令 \( \overline{SP}=2x, \overline{SR}=y，則 (\sqrt{3}x+y)^{2}+x^{2}=6^{2} \Rightarrow4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}xy=36 \)。
而圓柱側面積為 \( 2xy \)。
由算幾不等式有 \(\displaystyle \frac{4x^{2}+y^{2}}{2}\geq\sqrt{4x^{2}y^{2}}=2xy \Rightarrow(4+2\sqrt{3})xy\leq36 \Rightarrow xy\leq36-18\sqrt{3} \)
因此可得 \( y=2x \) 時，圓柱有最大側面積，此時 \( x = \frac{3}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)
而此圓柱的體積為 \(\displaystyle \pi(\frac{2x}{2\pi})^{2}y=\frac{2x^{3}}{\pi}=\frac{81\sqrt{6}-135\sqrt{2}}{\pi} \)
回復 19# jasonmv6124 的帖子
第 10 題C(14，7) = 3432
甲隊從 14 個位置中，選 7 個排入已安排好上場次序的 7 人，剩下給乙隊，比照辦理
排成一列後，由左至右依序是輸的順序 這份題目有一半以上是考古題，要高分才能進複試 請問第四題，偶數跟奇數的2:1位置不同，該如何用二項型寫出一般式呢？
回復 21# CyberCat 的帖子
也可以想成7x7棋盤格,從左下角的點開始,向右或向上走捷徑假設向右一步表示甲被淘汰一個,向右兩步表示甲被淘汰兩個,..........
假設向上一步表示乙被淘汰一個,向上兩步表示乙被淘汰兩個,..........
所有賽局狀況,都可以一一對應到棋盤格走捷徑之路徑
所求=(7+7)! /(7!*7!)=3432 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2021-4-17 23:17 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22498&ptid=3501][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這份題目有一半以上是考古題，要高分才能進複試 [/quote]
大概要7x~8x分進複試
回復 25# s7908155 的帖子
第4題\(\begin{align}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{2}}={{x}_{0}}+\frac{1}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{1}}+\frac{2}{3}{{x}_{0}} \\
& {{x}_{3}}={{x}_{2}}+\frac{2}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{2}}+\frac{2}{3}{{x}_{1}} \\
& {{x}_{4}}={{x}_{2}}+\frac{1}{3}\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{3}}+\frac{2}{3}{{x}_{2}} \\
& : \\
& : \\
& {{x}_{n}}=\frac{1}{3}{{x}_{n-1}}+\frac{2}{3}{{x}_{n-2}} \\
\end{align}\)
第七題另解
圓周跟高都跟寸絲老師算一樣，但最後忘記兩倍數字算錯了，寸絲老師的數字才是對的。回復 18# tsusy 的帖子
謝謝寸絲老師！第10題有陷阱
題目說的是對戰方式，至於最後哪一隊贏則並不關心。上場方式與對戰過程的輸贏有密切關聯(甲輸則甲下一位上場)，
但問題會出在當最後剩下甲乙各一人時，不需要管誰輸誰贏。
因此以走捷徑方式去看，在(0,0)-->(7,7) 所有捷徑中，
甲輸則往右走，乙輸則往上走，得到的捷徑數是所有對戰可能過程數。
由(6,6)-->(7,7)有兩條路徑(甲乙雙方剩一人時有兩種對戰結果)，
這兩條只算一次(兩種對戰結果當作一種來計算)，
所以答案應該是(0,0)-->(7,7)捷徑數扣掉(0,0)-->(6,6)捷徑數，
C(14,7)-C(12,6)
(驗證2對2或3對3會更清楚)
回復 31# farmer 的帖子
Farmer 兄的心思縝密這份題目是 Almighty 兄手寫的，也許用詞跟原題有出入
也許原題是用 "比賽過程" 之類的字眼
回復 31# farmer 的帖子
其實第10題的賽制是所謂的擂台賽，某隊所有人都被淘汰後，就由另一隊獲勝因此只要決定好甲隊的7個人在這14個順位中的哪些順位被淘汰即可
也就是寸絲老師的C(14,7)
回復 33# mojary 的帖子
後來也編輯好電子檔~才注意到你的提供回復 35# Almighty 的帖子
那就保留Almighty老師您的就好。才不會混淆。
感謝您的提供。
試題解答
請問雄女會公布試題解答嗎？回復 36# math1 的帖子
甭說解答了，雄女從不公布試題回復 36# math1 的帖子
只能自己算，然後找人對答案1. 0
2. 見 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3501&page=1#pid22473[/url]
3. \( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{bmatrix}a^{2} & ab\\
ab & b^{2}
\end{bmatrix} \)
4. \( \frac{3}{5} \)
5. 4
6. \( \frac{5}{3}\pi \)
7. \( \frac{81\sqrt{6}-135\sqrt{2}}{\pi} \)
8. 945
9. \( (3\sqrt{2},1-6\sqrt{2}), (-\sqrt{2},1-2\sqrt{2}), (\sqrt{2},1+2\sqrt{2}), (3\sqrt{2},1+6\sqrt{2}) \)
10. 3432 (或另一種解讀 2490)
11. 2040
12. 59640 雄女不公布試題或答案的話，這樣怎麼知道他們的答案有沒有錯啊？
回復 38# tsusy 的帖子
想請教第一題是怎麼化簡到0的？我化簡到一個sin20度的四次式就卡住了
回復 40# jerryborg123 的帖子
第1題\(\begin{align}
& \left| \begin{matrix}
\sin {{40}^{{}^\circ }} & \sin {{70}^{{}^\circ }} & -\sin {{90}^{{}^\circ }} \\
-\sin {{20}^{{}^\circ }} & -\sin {{90}^{{}^\circ }} & \sin {{70}^{{}^\circ }} \\
-\sin {{90}^{{}^\circ }} & -\sin {{20}^{{}^\circ }} & \sin {{40}^{{}^\circ }} \\
\end{matrix} \right| \\
& =\left| \begin{matrix}
\sin {{40}^{{}^\circ }} & \sin {{70}^{{}^\circ }} & -1 \\
-\sin {{20}^{{}^\circ }} & -1 & \sin {{70}^{{}^\circ }} \\
-1 & -\sin {{20}^{{}^\circ }} & \sin {{40}^{{}^\circ }} \\
\end{matrix} \right| \\
& =-{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }}-{{\sin }^{2}}{{20}^{{}^\circ }}-{{\sin }^{2}}{{70}^{{}^\circ }}+1+\sin {{20}^{{}^\circ }}\sin {{40}^{{}^\circ }}\sin {{70}^{{}^\circ }}+\sin {{20}^{{}^\circ }}\sin {{40}^{{}^\circ }}\sin {{70}^{{}^\circ }} \\
& =-{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }}-\left( {{\sin }^{2}}{{20}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{20}^{{}^\circ }} \right)+1+2\sin {{20}^{{}^\circ }}\cos {{20}^{{}^\circ }}\sin {{40}^{{}^\circ }} \\
& =-{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }}+{{\sin }^{2}}{{40}^{{}^\circ }} \\
& =0 \\
\end{align}\)