110竹北高中
第一部分填充題第 5 題，因符號誤植，本題送分。---
110.04.20
最低錄取分數：73分
複試人數：14人 6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 三角形面積，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779[/url])
16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)[u] [/u]公尺。
用12根鋼條架構出一個正六面體的裝置藝術，並在其底面裝上不透明的灰色面板\(OADC\)。今將其協立在公園的平地上。為了穩固此裝置
藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)、\(\overline{CC'}\)與\(\overline{DD'}\)。已知此正六面體的邊長為7公尺，且\(\overline{AA'}\)的長為2公尺，\(\overline{CC'}\)的長為3公尺。試回答下列問題：
(1)試問鐵柱\(\overline{DD'}\)的長為多少公尺？
(2)試問地面上的平行四邊形\(OA'D'C'\)的面積為多少平方公尺？
(3)試問鐵柱\(BB'\)的長為多少公尺？
(108北區第一次模擬考數甲，[url]https://jacobmath.com/wp-content/uploads/2020/07/%E5%8C%97%E5%8D%80%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%8C%87%E8%80%83%E6%A8%A1%E6%93%AC%E8%80%83-%E6%95%B8%E7%94%B2.pdf[/url]) 第5題打錯字應該會送分
第一部分後面5題來不及想。 請教10.16
回復 4# studentJ 的帖子
10.一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)[u] [/u]。
[解答]
設 \(b_n=a_n-n\cdot 2^n\)，則 \(b_1=-1\)，\(b_n=2b_{n-1}\)
得 \(b_n=-2^{n-1}\)，\(a_n=n\cdot 2^n-2^{n-1}\)
16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)[u] [/u]公尺。
[解答]
坐標化
\(O(0,0,0),A(4,0,3),B(-3/2,5\sqrt{3}/2,2)\)，\(B\) 是 \(A\) 的 \(x,z\) 分輛對調,調整 \(OB\) 長度為 \(5\) ,高度為 \(2\) 得到的
\(C\) 將 \(OA\)、\(OB\) 向量外積調整長度 得 \(C(-3\sqrt{3}/2,-5/2,2\sqrt{3})\) 16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)[u] [/u]公尺。
[解答]
定座標\(O(0,0,0),A(5,0,0),B(0,5,0),C(0,0,5)\)，地面為\(ax+by+cz=0\)，不失一般性，令\(a,b,c\ge0\)
\(\displaystyle\frac{5a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3,\frac{5b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2\)，化簡可得\(3b^2=c^2\)
所求\(\displaystyle=\frac{5c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\sqrt{3}\cdot2=2\sqrt{3}\) 想請教8、11，謝謝。
回復 7# koeagle 的帖子
第8題箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為[u] [/u]。
[提示]
選3個數字，每個數字3顆選1顆，固定次序1種排列
第11題
將4個相同的紅球與4個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號\(1,2,3,\ldots,8\)，則4個紅球對應號碼和小於4個藍球對應號碼和的排列數共有[u] [/u]種。
[提示]
（全部-總和相等）/2
回復 7# koeagle 的帖子
第 8 題箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為[u] [/u]。
[解答]
從 1 ~ 22 這 22 個數字中，選 3 個有 C(22，3) 種方法
所求 = (3/66) * (3/65) * (3/64) * C(22，3)
第 11 題
將4個相同的紅球與4個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號\(1,2,3,\ldots,8\)，則4個紅球對應號碼和小於4個藍球對應號碼和的排列數共有[u] [/u]種。
[解答]
全部 8! / (4!4!) = 70 種
兩者號碼和都 = 18，有以下 8 種
(1，2，7，8)
(1，3，6，8)
(1，4，5，8)
(1，4，6，7)
(2，3，5，8)
(2，3，6，7)
(2，4，5，7)
(3，4，5，6)
所求 = (70 - 8) / 2 = 31 種
回復 9# thepiano 的帖子
謝謝 Almighty 老師。謝謝 thepiano 老師。
回復 1# Superconan 的帖子
第一題高三上期末考結束後，大雄想請假在家讀書以全力準備學測，但學校規定「連續三日以上 (含三日)請假需請家長到校證明」，若大雄每天可以自由選擇上學或請假，而且他不想麻煩雄爸到校證明，那大雄本週一到週五出缺席的狀況有[u] [/u]種。
[解答]
全-不合(連三)
=2^5-3日請假-4日請假-5日請假
=32-3-4-1
=24
三日000xx x000x xx000
四日不合的00x00免家長來
五日00000
回復 11# nanpolend 的帖子
第二題投擲一枚不均勻的硬幣，已知正面出現的機率是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，反覆投擲，設數列\(\langle\;a_n\rangle\; \)定義如下：\(a_n=\cases{1，第n次投擲出現正面\cr -1，第n次投擲出現反面}\)，若\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)，則事件「\(S_8=2\)」的機率為[u] [/u]。
[解答]
S8=a1+...+a8
相當於二正後面三正三反對消
C8-3(1/3)^5(2/3)^3
=448/6561
回復 12# nanpolend 的帖子
第三題若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為\(a\)，正立方體的體積為\(b\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)[u] [/u]。(以最簡分數表示)
[解答]
令正立方體邊長為1
正八邊形相當於二個金字塔
正八邊形邊長相當於等腰直角三角形之斜邊
腰長=1/2
因此斜邊=根號2/2
正八邊形體積=2*正四面體=2*1/3底面積*高
=2*1/3*1/2*1/2
=1/6
因此a/b=1/6
111.1.5版主補充圖形 請教13和15
回復 14# acc10033 的帖子
13.坐標平面上，在圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=4\)上取兩點\(A\)、\(B\)，使此兩點在\(x\)軸上方，且摺回劣弧\(AB\)使其恰與\(x\)軸相切於\((1,0)\)，則直線\(\overline{AB}\)的直線方程式為[u] [/u]。
[解答]
找 \(x^2+y^2=4\) 和 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\) 的根軸 \(2x+4y=5\)
15.
有一個不公正的硬幣，投出正面的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，投出反面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，若投擲50次，則硬幣出現\(2k\)次(\(k=0,1,2,\ldots,25\))正面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{a}(b+\frac{1}{c^d})\)，其中\(a,b,c,d\in N\)，且\(c\)為質數。求數組\((a,b,c,d)=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{25} C^{50}_{2k} \left(\frac{2}{3}\right)^{2k}\left(\frac{1}{3}\right)^{50-2k}\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)^{50} \sum\limits_{k=0}^{25} C^{50}_{2k} 2^{2k}\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)^{50} \cdot \frac{(2+1)^{50}+(2-1)^{50}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{30^{50}}\right]\)
回復 13# nanpolend 的帖子
4.設\(\omega\)為方程式\(x^5=i\)的一根，試求\(|\;1-\omega|\;\)的最大值[u] [/u]。(請以\(asin\theta\)表示，其中\(a>0\)，\(\theta\)為銳角)
[解答]
X^5=i=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)
用隸美弗定理k=0,1,2,3,4
角度分別為18.90.162.234.306度
(速解)
一半角度9.45.81.117.153度
原式=2sin一半角度
sin是增函數因此最大值2sin81度
(推導)
用二倍角公式轉換成半角公式
絕對值=根號a平方+b平方
再代換在平方和根號對消
最後解出2sin一半角度
回復 2# bugmens 的帖子
6.若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為[u] [/u]。
[解答]
根與係數和海龍公式
a+b+c=10
ab+bc+ac=44
abc=14
s=1/2(a+b+c)=5
三角形面積=根號s(s-a)(s-b)(s-c)=9根號5
(PS)詳細的代換就自己試吧
回復 17# nanpolend 的帖子
7.一個凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CD}=5\)，且\(\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}\)，則內積\(\vec{BC}\cdot \vec{AD}=\)[u] [/u]。
[解答]
相當於圓內接四邊形
AD=5根號3 AC
根據托勒密定理
BD=4+3根號3(二對邊相乘和=對角線相乘)
內積BC*AD=(BD+DC)*AD
答案27+12根號3 我算過一遍沒錯
應該也可以BC*(AB+BD)分解
直角的向量為0
回復 1# Superconan 的帖子
請教9.12.14回復 19# nanpolend 的帖子
填題 9.相機的影像是光線投射在一片長方形的感光元件(CMOS)上，再轉換為電子訊號儲存在記憶體中，我們看到的相片為由此感光元件接收到之光線所呈現。已知相機在拍攝時，因為光線的折射與感光元件等因素會導致影像變形。假設有一款手機上的相機，在初始設計上影像會產生線性變形，即照片上的影像為真實影像產生旋轉、伸縮、推移等線性變換。如右圖，為了校正此變形，設定一個座標平面上的正方形 \(ABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(1,0)\)、\(B(1,1)\)、\(C(0,1)\)，以此相機拍攝此正方形後，相片上呈現平行四邊形\(OA'B'C'\)影像，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)分別變換至\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，且\(\displaystyle A'\left(\frac{24}{25},\frac{7}{25}\right)\)、\(\displaystyle C'\left(\frac{-1}{7},1\right)\)。工程師發現此變形是影像先產生沿\(x\)軸方向的推移變換，然後再以原點\(O \)為中心旋轉\(\theta\)角所導致，於是工程師利用軟體將照片上的影像坐標先旋轉\(-\theta\)角，再經由一個二階方陣\(M\)線性變換為正確的影像坐標，則此方陣\(M\)為[u] [/u]。
[解答]
依題意知 \( \theta \) 為銳角，且 \( \cos \theta = \frac 7{25} \)
將 \( C' \) 轉 \( -\theta \) 回去，即 \( \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{24}{25} & \frac{7}{25}\\
-\frac{7}{25} & \frac{24}{25}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\
\:1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}\\
1
\end{pmatrix} \)
故，原沿 x 軸方向的推移，將 \( C(0,1) \) 推至 \( (\frac{1}{7},1) \) ，故此推移矩陣為 \( \begin{pmatrix}\displaystyle1 & \frac{1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} \)，其反方陣為 \( \begin{pmatrix}\displaystyle 1 & \frac{-1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} \)
填充 14.
假設地球是完美的球形，沿著北緯\(60^{\circ}\)線將地球剖成兩塊，若小塊的體積；大塊的體積比\(\displaystyle =1:\frac{(a+b\sqrt{3})^2}{c}\)，其中\(a,b,c\in N\)，且\(c\)為質數。求數組\((a,b,c)=\)[u] [/u]。
[解答]
依題意
\(\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c}=\left(\int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx\right)/\left(\int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx\right) \)
計算積分得 \(\displaystyle \int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx=3\sqrt{3}+\frac{16}{3}, \int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx=-3\sqrt{3}+\frac{16}{3} \)
故 \(\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c} = \frac{16+9\sqrt{3}}{16-9\sqrt{3}} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{256-243} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{13} \)
故 \( (a,b,c) = (16,9,13) \)
頁:
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