110新竹高中
感謝各位老師們協助幫忙整理試題若有錯誤，請不吝嗇指正
附件為Superconan老師整理的版本
填充題（5分*10題）
1.ABCDEFabcdef兩兩配成6對（可以AB,Aa,Ab,ab等等）
至少兩對同義（像是Aa）的方法數
2.五顆大小不同的西瓜排成一列
某人拿一個西瓜的方式如下：
前兩個必不取
之後看到比這兩個都大的西瓜就拿
求拿到最大的機率
（題目沒說有關最後都沒拿的事情，應是此與所求無關）
3.Sn=2an-1，b1=3，b_(n+1)=bn+an
求<bn>的前n項之和
4.sin(20度)=根號3*cos(40度)+sin(x度)
求x=?（0<=x<360）
5.OA向量=(3,3,1),OB向量=(2,4,0),OC向量=(3,-6,-9)
H異於原點，OA在OH上的正射影為OH
OB在OH上的正射影為2OH
OC在OH上的正射影為3OH
求OH的長度
6.P在x^2/36+y^2/32=1上,A(-2,0),B(-1,4)
求PA+PB的最小值
7.O是三角形ABC的外心
AO向量=AB向量+2AC向量
求sin角BAC
8.實係數多項式x^3+ax^2+bx+c=0
每個根的絕對值都是1，三根之和為-2
求數組(a,b,c)
9.設z為複數，Arg((z+k)/(z))=pi/6,Arg((z+2k)/(z+k))=pi/4
且k>0，求k/z
10.a1=1,a2=1/2,前兩項之積開根號為後一項
求lim n->inf an
計算題（10分*5題）
1.求g(1)+...g(2^n)
(g(n)=n的最大奇因數）
2.四面體ABCD給六邊(5,6,7,8,8,9)求體積。
（應該是AB=5,BC=6,AC=7,DB=8,DC=8,DA=9）
3.y^2=4x
兩直線互相垂直，且通過焦點
與拋物線交於A,B和C,D
求線段AB+線段CD的最小值
4.z是不等於0的複數
已知z+1/z是實數
證明z^n+1/z^n是實數，對任意整數n
5.y=x^3-5x+2
與y=mx恰有兩交點
(1)求m(6分)
(2)求兩者所圍的面積(4分) 6.
已知\(A(-2,0)\)，\(B(-1,4)\)，\(P\)點在橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)上，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值。
[解答]
過\(B(-1,4)\)和\(F(2,0)\)的直線交橢圓於\(P\)點
\(\overline{PA}+\overline{PF}=2a\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{BF}=2a=12\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF}\)有最小值7
(我的教甄解題之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url])
10.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\)，\(n \in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
設\(a_1=1\)，\(a_2=8\)且\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\times a_{n-2}}\)，\(\forall n\ge 3\)，求此數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的第\(n\)項\(a_n\)為何？(用\(n\)表示)
(102松山高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2156&page=1#pid14147[/url])
回復 1# 呆呆右 的帖子
印象中第八題是問Sin 好像記得最小值 填充9.找最小值計算4.n為整數 計算3 兩直線通過焦點
填充8 題目無誤，109台中一中考過 想請教填充4, 計算2.3
回復 7# ibvtys 的帖子
計算第 3 題已知拋物線\(y^2=4x\)，有兩直線\(L_1\)和\(L_2\)通過拋物線的焦點且互相垂直，若\(L_1\)與拋物線交於點\(A\)和點\(B\)，\(L_2\)與拋物線交於點\(C\)和點\(D\)，試求\(\overline{AB}+\overline{CD}\)的最小值。
[解答]
AB 和 CD 應是焦點弦，且是求 AB + CD 的最小值
設直線 AB 和 x 軸之夾角為 θ，直線 CD 和 x 軸之夾角為 π/2 + θ
由 AB = 4c / (sinθ)^2，CD = 4c / [sin(π/2 + θ)]^2 = 4c / (cosθ)^2
可求出 AB + CD 的最小值為 16
回復 7# ibvtys 的帖子
計算第 2 題已知四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
參考 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=5#pid5334[/url] 感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。
計算最後一題的配分應該是第一小題6分，第二小題4分。
填充第 1 題增加舉例，當時題目應該是給這三個例子。
計算第 4 題改為 n 是整數（已確認）。 今天考試時有消防車，外面很吵的原因
h ttps://udn.com/news/story/7320/5378812 連結已失效
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不知道可否分享這個？若不妥我再刪除。
填充4
填充四若\(0^{\circ}\le x^{\circ}<360^{\circ}\)且\(sin20^{\circ}=\sqrt{3}cos40^{\circ}+sinx^{\circ}\)，則\(x=\)？
[解答]
有錯請不吝指正 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-4-10 16:46 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22374&ptid=3493][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。
計算最後一題有點忘記是不是第一小題四分，第二小題六分。 ... [/quote]
感謝 Superconan老師 打上題目
稍微提一下，計算４我記得題目並沒有提到z的絕對值=1 這件事
這應該是推論過程之中才會得到的 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-4-10 16:46 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22374&ptid=3493][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。
計算最後一題有點忘記是不是第一小題四分，第二小題六分。 ... [/quote]
感謝以上老師幫忙還原題目。
z+1/z...那題，補上n是任意正整數
|z|我記得題目沒有說
可以證明的是z=r(cos(theta)+isin(theta))
(1)sin(theta)=0,...(r不必然為1）
(2)sin(theta)不等於0,可證得r=1，...
結果#13F先講了
回復 8# thepiano 的帖子
想問AB為何可以這樣表示，謝謝 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2021-4-10 17:39 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22382&ptid=3493][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]謝謝老師，已更新。 [/quote]
計算第五題的配分，應該是6分跟4分
另外方便我之後將老師最終的檔案
放在1F附件嗎？ [quote]原帖由 [i]studentJ[/i] 於 2021-4-10 17:36 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22381&ptid=3493][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想問AB為何可以這樣表示，謝謝 [/quote]
考慮拋物線定義，並假設線段與x軸正向夾角，即可寫出鋼琴老師的式子~
我考場內也是算出16~
回復 15# 呆呆右 的帖子
我記得計算的第4題n是整數，不是正整數回復 18# zidanesquall 的帖子
我記得應該是正整數，因為我一看到n是正整數，馬上想到會不會是用數學歸納法來證回復 16# studentJ 的帖子
A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)直線 AB：y = tanθ(x - c)
y^2 = 4cx
[tanθ(x - c)]^2 = 4cx
(tanθ)^2 * x^2 - [2c(tanθ)^2 + 4c]x + c^2 * (tanθ)^2 = 0
x_1 + x_2 = 2c + [4c / (tanθ)^2]
AF = x_1 + c，BF = x_2 + c
AB = x_1 + x_2 + 2c = 4c + [4c / (tanθ)^2] = 4c / (sinθ)^2