若\(g(n)\)表示正整數\(n\)的奇因數中最大者，例如：\(g(3)=3,g(14)=7\)。求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n}g(k)=g(1)+g(2)+g(3)+\ldots+g(2^n)=\)
[解答]
另解 想請教填充1，謝謝。
回復 42# koeagle 的帖子
填充第 1 題將12個大小寫的英文字母\(A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,e,f\)打亂，兩兩任意配成6對，求大小寫同義(如：\(Aa\)為同義配對，\(AB\)、\(Ab\)不是同義配對)至少2對的方法數。
[解答]
六對同義：1 種
五對同義：0 種
四對同義，二組不同義：C(6，4) * 2 = 30 種
三對同義，三組不同義：C(6，3) * 8 = 160 種
二對同義，四組不同義：C(6，2) * 60 = 900 種
總共 1091 種
回復 43# thepiano 的帖子
謝謝 thepiano 老師。謝謝 czk0622 老師。
回復 42# koeagle 的帖子
填充第 1 題將12個大小寫的英文字母\(A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,e,f\)打亂，兩兩任意配成6對，求大小寫同義(如：\(Aa\)為同義配對，\(AB\)、\(Ab\)不是同義配對)至少2對的方法數。
[解答]
反面作法(取捨原理)
任意分組-全不同義-恰1組同義\(=10395-6040-3264=1091\)
任意分組:\(\Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!=10395\)
全不同義:\(\displaystyle \Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!-C^{6}_{1}\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!+C^{6}_{2}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!-C^{6}_{3}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!+C^{6}_{4}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!-C^{6}_{5}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!+C^{6}_{6}=6040\)
恰1組同義:\(C^{6}_{1}(\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!-C^{5}_{1}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!+C^{5}_{2}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!-C^{5}_{3}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!+C^{5}_{4}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!-C^{5}_{5})=6\times 544=3264\)
看著手稿還打錯，謝謝thepiano老師修正
回復 43# thepiano 的帖子
鋼琴老師您好可否問一下當兩組同義時 C(6,2)X60 ,60是怎麼得到的呢?
同樣的問題四組同義時 C(6,4)X2 , 2是怎麼得到的呢?
不知道這樣理解有錯嗎?
A B C D E F
a b c d f e
最後兩組不同義的配對只能是E配f ,F配e這一組(only這組??_). 不知道是哪作錯了?
回復 47# anyway13 的帖子
ABCDEFabcdef
C(6,4)—>Aa Bb Cc Dd
E e固定 與F f有2！ 排列
同理
C(6,2)—>Aa Bb
CDEF cdef討論（可以樹狀圖畫一下蠻清楚的）
針對CD Cd CE Ce CF Cf討論
CD—>cd cE ce cF cf—>每種剩下2！排列
故為6*5*2=60
回復 47# anyway13 的帖子
2不同=2亂排-0不同=4!/(2!2!2!)-1=23不同=3亂排-2不同-0不同=6!/(2!2!2!3!)-3*2--1=8
4不同=4亂排-3不同-2不同-0不同=8!/(2!2!2!2!4!)-4*8-6*2-1=60
回復 46# anyway13 的帖子
老師應該是把E---F
f----e 即為(Ef)(Fe)
視為一種錯排列的問題吧
但其實這題不是單純錯排喔
它也可以是
E----e
F----f 即為(EF)(ef)
亦為不同義
所以有2種，至於2種的算法就如上老師們的各種算法了
希望有解答到你的問題
回復 46# anyway13 的帖子
小弟一開始也以為題意是一個大寫字母配一個小寫字母成一組，所以也用錯排做了一遍後來看到題目的舉例才發現原來是任意配
計算2另解分享
計算2已知四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
另解分享
填充4另解分享
填充4若\(0^{\circ}\le x^{\circ}<360^{\circ}\)且\(sin20^{\circ}=\sqrt{3}cos40^{\circ}+sinx^{\circ}\)，則\(x=\)？
[解答]
另解分享
計算三另解分享
計算三已知拋物線\(y^2=4x\)，有兩直線\(L_1\)和\(L_2\)通過拋物線的焦點且互相垂直，若\(L_1\)與拋物線交於點\(A\)和點\(B\)，\(L_2\)與拋物線交於點\(C\)和點\(D\)，試求\(\overline{AB}+\overline{CD}\)的最小值。
[解答]
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回覆#47Almighty,#48cut6997,#49kggj5220,#50 thepiano的帖子
感謝Almighty老師，cut6997老師，kggj5220老師和鋼琴老師。經過你們的詳細答覆和解說，終於有明白了。謝謝你們。填充5有誤還請指教
5.空間中，已知\(\vec{OA}=(3,3,1)\)、\(\vec{OB}=(4,2,0)\)、\(\vec{OC}=(3,-6,-9)\)，\(H\)為異於原點\(O\)的點。若\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)在\(\vec{OH}\)方向上的正射影分別為\(\vec{OH}\)、\(2\vec{OH}\)、\(3\vec{OH}\)，則\(|\;\vec{OH}|\;=\)？
[解答]
我記得OA向量好像不是(3,3,1)，但我也印象模糊，所以就先用記憶板的檔案訂正
填充10另解分享
填充10已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\)，\(n \in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
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回復 55# XINHAN 的帖子
應該是OA*OH=OH^2?填充第五題 請參考
填充第五題空間中，已知\(\vec{OA}=(3,3,1)\)、\(\vec{OB}=(4,2,0)\)、\(\vec{OC}=(3,-6,-9)\)，\(H\)為異於原點\(O\)的點。若\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)在\(\vec{OH}\)方向上的正射影分別為\(\vec{OH}\)、\(2\vec{OH}\)、\(3\vec{OH}\)，則\(|\;\vec{OH}|\;=\)？
[解答]
請參考
第9題另解 請參考
第9題已知\(z\)為一複數，且滿足\(\displaystyle Arg(\frac{z+k}{z})=\frac{\pi}{6}\)及\(\displaystyle Arg(\frac{z+2k}{z+k})=\frac{\pi}{4}\)，其中\(k>0\)，求\(\displaystyle \frac{k}{z}\)的值。
[解答]
另解 請參考 填充5