93台南女中
第一次來這裡發文，試試看，想請教第6題回復 1# chihming 的帖子
第 6 題將一等差數列\(1,4,7,10,13,\ldots \ldots,997,1000\)，全部乘起來得\(S\)，則\(S\)末尾共有連續多少個0？(如20040000末尾共有連續4個0)
[解答]
不大於 1000 的自然數中
除以 3 餘 1，且為 5 的倍數：10、25、40、......、1000，有 67 個
除以 3 餘 1，且為 25 的倍數：25、100、175、......、1000，有 14 個
除以 3 餘 1，且為 125 的倍數：250、625、1000，有 3 個
除以 3 餘 1，且為 625 的倍數：625，有 1 個
所求 = 67 + 14 + 3 + 1
93年台南女中
謝謝喔，這套系統，果然快又好用。想請教第四題，lagrange multiplier 的解法 ~~
感恩 ~~
回復 3# chihming 的帖子
這種題目都是先移軸再轉軸成標準式最近幾年教甄幾乎都不考這種題目了
回復 3# chihming 的帖子
第四題設\(x\)、\(y \in R\)，\(4x^2-24xy+11y^2+40x+30y-145=0\)，求\((x-4)^2+(y-3)^2\)的最小值=[u] [/u]。
[解答]
非 lagrange multiplier 的解法
設 \( (x,y)=(4+r\cos\theta,3+r\sin\theta), r \geq 0\)
代入 \(4x^{2}-24xy+11y^{2}+40x+30y-145=4(x-4)^{2}-24(x-4)(y-3)+11(y-3)^{2}-20=0\)
整理可得 \(\displaystyle 7\cos2\theta+24\sin2\theta=15-\frac{40}{r^2}\)
因此 \(r^2 \geq 1\) (疊合)
得 \( r\geq 1\)
lagrange multiplier 的解法
設 \(f(x,y)=4x^{2}-24xy+11y^{2}+40x+30y-145\)
，\(g(x,y)=(x-4)^{2}+(y-3)^{2}\)
則 \(\nabla f(x,y)=[8x-24y+40,-24x+22y+30]\)
，\(\nabla g(x,y)=[2(x-4),2(y-3)]\)
若 \(g(x,y)\) 在條件 \(f(x,y)=0\) 上有極值，則 \(\nabla g(x,y)=\lambda \nabla f(x,y)\)
即 \(\displaystyle \frac{8x-24y+40}{2(x-4)}=\frac{-24x+22y+30}{2(y-3)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4x-12y+20}{x-4}=\frac{-12x+11y+15}{y-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4(x-4)-12(y-3)}{x-4}=\frac{-12(x-4)+11(y-3)}{y-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 4-12\frac{y-3}{x-4}=11-12\frac{x-4}{y-3}\)
設 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t\)，得 \(12t^{2}-7t-12=0\) 即 \(\displaystyle t=\frac{4}{3} \vee -\frac{3}{4}\)
若 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t=\frac{4}{3}\)，設 \((x,y)=(4+4s,3+3s)\) 代回 \(f(x,y)=0\) 得 \(\displaystyle s^{2}=-\frac{4}{65}\) 矛盾
若 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t=-\frac{3}{4}\)，設 \((x,y)=(4-3s,3+4s)\) 代回 \(f(x,y)=0\) 得 \(\displaystyle s^{2}=\frac{1}{25}\)
因此 \(g(x,y)\) 有極值 \(25s^{2}=1\)
93年台南女中
太讚了!! 謝謝! 樓上那位!!想再請教 第3題
(1) 為啥 不是 C(4,4)*C(6,3)/C(10,7) =1/6
回復 6# chihming 的帖子
因爲取後不放回93年台南女中
那正確應該怎麼算呢?回復 8# chihming 的帖子
第 3 題 (1)設袋中有大小相同紅球4個、白球6個，今從袋中一次取一球，取後不放回，直到所有紅球皆取到時才停止。設\(X\)表示停止時，所取球的次數，求(1)\(X=7\)的機率=[u] [/u]；(2)\(X\)的期望值=[u] [/u]。
[解答]
前 6 次 3 紅 3 白，第 7 次紅
前 6 次有 C(6，3) = 20 種情形
每一種的機率都等於 (4 * 3 * 2 * 6 * 5 * 4) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5)
第 7 次的機率是 1/4
所求 = 20 * [(4 * 3 * 2 * 6 * 5 * 4) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5)] * (1/4) 不好意思想借這裡問一下第一題跟第七題
第一題我硬除爆開來的確是可以找到規律，不過有沒有更好的方法呢
第七題我看了答案然後把微分的結果代答案的確是沒錯，但就只是印證答案而已
謝謝！
回復 10# L.Y. 的帖子
填充 1.求\(x^{30}\)除以\((x+1)^2(x^2+1)\)的餘式=[u] [/u]。
[解答]
令 \(f(x) = {x^{30}}\)
依除法原理有 \(f(x) = {(x + 1)^2}({x^2} + 1)q(x) + r(x)\)，其中 \(q(x)\) , \(r(x)\) 皆為實係數多項式且 \(r(x)\) 的次數不超過3次或 \(r(x) = 0\)。
可令 \(r(x) = (ax + b)({x^2} + 1) + cx + d\)，其中 \(a,b,c,d\) 皆為實數
解聯立 \(\left\{ \begin{array}{l}f(i) = r(i)\\f( - 1) = r( - 1)\\f'( - 1) = r'( - 1)\end{array} \right.\)，可得 \(a,b,c,d\) 之值
113.4.21補充
\(x^{2024}\)除以\((x^2+1)(x-1)^2\)所得的餘式為[u] [/u]。
(113文華高中，[url]https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html[/url])
回復 11# tsusy 的帖子
寸絲老師好，完全沒有想到微分的結果也可以拿來用，\((x+1)^2\)是關鍵，學到了！
非常謝謝您！
回復 10# L.Y. 的帖子
第 7 題函數\(f(x)=x^2+1+\sqrt{x^4-8x+8}\)在\(x=\)[u] [/u]時有最小值[u] [/u]。
[解答]
f(x) = x^2 + 1 + √(x^4 - 8x + 8)
= √[(2x)^2 + (x^2 - 1)^2] + √(2x - 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
視為拋物線 y = (1/4)x^2 上一點 (2x，x^2) 到 焦點(0，1) 與到 (2，2) 距離和的最小值
即拋物線 y = (1/4)x^2 上一點 (2x，x^2) 到準線 y = -1 與到 (2，2) 距離和的最小值
此點為 (2，1)，此時 x = 1
回復 13# thepiano 的帖子
thepiano老師好，原來是這樣配！我一直想辦法令 t=x^2+c 讓x消失變一次式都無法，想錯方向了
非常謝謝您！
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