正整數x除以10、12、14所得餘數都是質數，求x的所有可能解
x是未滿420的正整數，x除以10、12、14所得餘數分別是r_1、r_[size=12px]2[/size]、r_[size=12px]3[/size]，且r_1、r_[size=12px]2[/size]、r_[size=12px]3為兩兩相異的質數，[/size]求x的所有可能解。謝謝！ 14以下的質數有3,5,7,11,13，故x的一個可能為\(\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 10)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 12)\\
x \equiv 7(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 14)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5)\\
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3)\\
x \equiv 0(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 7)\\
x \equiv 1(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \equiv ( - 84) \cdot 3 + ( - 140) \cdot 2 + 120 \cdot 0 + 105 \cdot 1 \equiv 413(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} 420)\)
更一般的情況可寫為
\(\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv a(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5)\\
x \equiv b(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3)\\
x \equiv c(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 7)\\
x \equiv d(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \equiv ( - 84) \cdot a + ( - 140) \cdot b + 120 \cdot c + 105 \cdot d(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} 420)\)
[table=98%][tr][td=1,1,72]模10[/td][td=1,1,72]模12[/td][td=1,1,72]模14[/td][td=1,1,72]模5同餘a[/td][td=1,1,72]模3同餘b[/td][td=1,1,72]模7同c[/td][td=1,1,72]模4同餘d[/td][td=1,1,182]x=-84a-140b+120c+105d 模420[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]5[/td][td]7[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]413[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]5[/td][td]11[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]4[/td][td]1[/td][td]53[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]5[/td][td]13[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]6[/td][td]1[/td][td]293[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]7[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]1[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]103[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]7[/td][td]11[/td][td]3[/td][td]1[/td][td]4[/td][td]3[/td][td]403[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]7[/td][td]13[/td][td]3[/td][td]1[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]223[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]11[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]383[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]11[/td][td]7[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]0[/td][td]3[/td][td]203[/td][/tr] [tr][td]3[/td][td]11[/td][td]13[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]83[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]3[/td][td]7[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]3[/td][td]315[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]3[/td][td]11[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]4[/td][td]3[/td][td]375[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]3[/td][td]13[/td][td]0[/td][td]0[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]195[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]7[/td][td]3[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]3[/td][td]3[/td][td]115[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]7[/td][td]11[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]4[/td][td]3[/td][td]235[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]7[/td][td]13[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]55[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]11[/td][td]3[/td][td]0[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]3[/td][td]395[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]11[/td][td]7[/td][td]0[/td][td]2[/td][td]0[/td][td]3[/td][td]35[/td][/tr] [tr][td]5[/td][td]11[/td][td]13[/td][td]0[/td][td]2[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]335[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]3[/td][td]5[/td][td]2[/td][td]0[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]327[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]3[/td][td]11[/td][td]2[/td][td]0[/td][td]4[/td][td]3[/td][td]207[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]3[/td][td]13[/td][td]2[/td][td]0[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]27[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]1[/td][td]17[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]5[/td][td]11[/td][td]2[/td][td]2[/td][td]4[/td][td]1[/td][td]137[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]5[/td][td]13[/td][td]2[/td][td]2[/td][td]6[/td][td]1[/td][td]377[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]11[/td][td]3[/td][td]2[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]3[/td][td]227[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]11[/td][td]5[/td][td]2[/td][td]2[/td][td]5[/td][td]3[/td][td]47[/td][/tr] [tr][td]7[/td][td]11[/td][td]13[/td][td]2[/td][td]2[/td][td]6[/td][td]3[/td][td]167[/td][/tr][/table]
回復 2# tsusy 的帖子
請問「x=-84a-140b+120c+105d 模420」是利用中國剩餘定理嗎？如果只求符合條件的x有「幾個」，而不管x的實際值，請問有無算式可算出答案是27個？
謝謝！
[[i] 本帖最後由 克勞棣 於 2021-3-26 12:35 編輯 [/i]]
回復 3# 克勞棣 的帖子
是中國剩餘定理。算式就是排列組合
模 10， \( r_1 \) 可為 3,5,7
模 12， \( r_2 \) 可為 3,5,7,11
模 14， \( r_3 \)可為 3,5,7,13
且要求兩兩相異，故有 \( (r_1,r_2,r_3) \) 有 \( 3 \times (4-1) \times (5-2) = 27 \) 組
而每一組 \( (r_1,r_2,r_3) \) 都恰好對應一個 \( x \) 的解，故滿足條件的 \( x \) 有 27 個
回復 4# tsusy 的帖子
「模 14， r_3可為 3,5,7,13」這一句，寸絲老師是否筆誤少寫了11？另外再請教，[color=red]為什麼每一組 (r_1, r_2, r_3) 都恰好對應「一個 」x 的解呢？[/color]
(1)為什麼同一組 (r_1, r_2, r_3)不可能對應「2個以上」 x 的解？
(2)為什麼不會有某一組 (r_1, r_2, r_3)對應「0個」 x 的解(亦即沒有任何x可以滿足這組餘數數對)？
對於(1)，在下的想法是
設x_1, x_2都滿足某一組 (r_1, r_2, r_3)，則易知 |x_1 - x_2 | 是10的倍數(因為它們除以10有相同餘數)， 同理，|x_1 - x_2 | 是12的倍數且是14的倍數，
所以 |x_1 - x_2 |是[10, 12, 14]=420的倍數，
但x_1與 x_2被侷限在1,2,3,4,.....,419之中，
所以只能 |x_1 - x_2 |=0，故x_1 - x_2=0，即x_1=x_2，所以一組 (r_1, r_2, r_3)不可能對應「2個以上」 x 的解。
對於(2)，在下的想法是
任何一個 x 除以10都恰好有一個餘數，x 除以12、除以14也是一樣恰好有一個餘數，所以任何一個 x 都恰好對應一組餘數數對，但這與質數有什麼關係？我想不下去了。
盼解惑，再次感謝！
回復 5# 克勞棣 的帖子
對，筆誤，漏掉11了(1) 你證完了
(2) 不知道是否有發現：「質數 2 被我刻意略過了」，因為放入 (2,3,5) 會無解。
另一件事，則是為了解同餘方程，將原本三個的條件，拆解成四個式子了，但實際上是 六個式子，只是其中有三條式子相同。而在 (2,3,5) 的情況，則會得到矛盾的式子，表示無整數解。
\(\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 10)\\
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 12)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 14)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5)\\
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2)\\
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3)\\
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 7)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2)
\end{array} \right. \)
其中，一個式子對應兩個式子，\( \Leftarrow \) 的理由和(1)相同
沒有質數2的情況，則由 \( x \equiv -84a - 140b + 120c + 105d (mod 420)\) 直接構造了解的存在性
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