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iammark 發表於 2021-2-1 15:31

求數字不同可被36整除的8位數

小弟在FB「國小數學討論區」看到一題，試做後發現第三題不簡單，因為沒有答案，想到這裡高手如雲，提供我的做法，請各位先進不吝指教，謝謝。

Q
從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數中，選8個不同的數字排成一個可被36整除的8位數。則此8位數：
一、 最小為多少？
二、 最大為多少？
三、 共有幾個？
Ans：
可被36整除，必為9或4的倍數。
(1) 先考慮9的倍數，因為0+1+2+…+9為倍數，所以沒選的兩數必為(0,9)、(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)之一。
(2) 再考慮4的倍數，即末兩位必為4的倍數。

一、 先試排前4位可得1023，但第5位不為4，否則無法為4的倍數，可知沒選的兩數必為4,5，再排6、7、8、9可得10237968為最小。

二、 先試排前4位可得9876，但第5位不為5，否則無法為4的倍數，可知沒選的兩數必為4,5，再排0、1、2、3可得98763120為最大。

三、 先考慮末兩位可分成
(一)04、08、20、40、60、80此6組，每組各有3組不能選的數字，剔除後剩下6個數字，其排列有720種，共6X3X720=12960個。

(二)12、16、24、28、32、48、52、56、64、68、76、84此12組，每組各有3組不能選的數字，2組有0， 其排列有600種，另1組沒0，其排列有720種，共12X(2X 600+720)=23040個。

(三)36、72此2組，每組各有4組不能選的數字，3組有0，其排列有600種，另1組沒0，其排列有720種，共2X( 3 X 600+720)=5040個。

(四)92、96此2組，每組各有3組皆有0不能選的數字，   其排列有600種，共2X3X600=3600個。

由(一)(二)(三)(四)則共有44640個

thepiano 發表於 2021-2-1 20:56

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最小應是 10237896

Lopez 發表於 2021-2-1 21:25

回復 1# iammark 的帖子

Ans: (寫程式算的)
(1) 最小 10237896
(2) 最大 98763120
(3) 共有 44640 個

thepiano 發表於 2021-2-1 21:39

回復 1# iammark 的帖子

原題只有最大，另兩題您自己出的吧？

iammark 發表於 2021-2-1 22:54

回復 2# thepiano 的帖子

謝謝thepiano師修正。
您說的沒錯，原題只有最大值。
一時興起，想知道最小值與共幾個，
自己做了之後發現不好做。
因沒答案，所以來求教，也在FB(高中數學討論區）得到高手修正。
沒想到最小值還是寫錯，再次感謝thepiano師。

iammark 發表於 2021-2-2 11:47

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謝謝Lopez老師

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