105台中一中科學班入學試題
如附件想請教第一部分第一題
以及第二部分的14 16題
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第 1 題從正整數1、2、3、…、2016中，至少要取出多少個不同的數才保證其中有一個數是105的倍數？
[解答]
1 ～ 2016 有 19 個 105 的倍數，1997 個非 105 的倍數
所以最少取 1997 + 1 個，一定可取到 105 的倍數
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第 14 題串校舉辦五子棋賽，共有\(n\)名女學生及\(19n\)名男學生參賽(\(n\)為正整數)，每名選手都與其餘\(20n-1\)名選手各對局一次。計分方式為：勝者得2分，負者得0分，和局各得1分。比賽結束後統計發現，男學生得分總和為女學生總和的9倍，則\(n\)的所有可能值總和為[u] [/u]。
[解答]
\(20n\)個人總共比了\(\displaystyle \frac{20n\left( 20n-1 \right)}{2}=10n\left( 20n-1 \right)\)場
總得分\(20n\left( 20n-1 \right)\)分
由於男生的總得分是女生的 9 倍，故女生的總得分是\(2n\left( 20n-1 \right)\)分
\(n\)個女生總共比了\(19n\times n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=\frac{39{{n}^{2}}-n}{2}\)場
女生最高得分是\(39{{n}^{2}}-n\)分
\(\begin{align}
& 39{{n}^{2}}-n\ge 2n\left( 20n-1 \right) \\
& {{n}^{2}}\le n \\
& n=1 \\
\end{align}\)
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第16題已知\(\overline{AB}\)是圓\(O\)的直徑，弦\(\overline{CD}\)與\(\overline{AB}\)交於\(E\)。過\(A\)的切線與\(\overline{CD}\)的延長線交於\(F\)，且\(\overline{AC}=8\)、\(\overline{CE}:\overline{ED}=6:5\)、\(\overline{AE}:\overline{EB}=2:3\)。求\(\overline{ED}\)長為[u] [/u]。 感謝各位老師的指教幫忙
請教二題
第一部分7.第二部分13.
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第 7 題投擲一枚公正骰子三次，其三次點數恰為等差數列的機率[u] [/u]。
[提示]
考慮公差為 0，1，-1，2，-2
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第13題暑假期間，台中一中宿舍裡住了超過5名學生，小暢主任任命其中一人擔任舍長。7月15日時，主任為鼓勵這群學生，買了一些卡片讓住宿學生們互相分享學習心得。已知宿舍每名同學互贈一張卡片，且每人又贈送給宿舍各樓層的每位管理員一張卡片，每位宿舍管理員也回贈舍長一張卡片，全部共用去 51 張卡片。請問一中宿舍裡共住了多少名學生﹖
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感謝頁:
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