2021APMO亞太數學奧林匹亞競賽初選試題
請教第1,3.4.5及非選二113.3.25
上傳考試二試題
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第 3 題某款桌遊共有10張牌，其中3張畫有一個骷髏頭，另外5張畫有一枚硬幣，剩下的2張為空白。將這10張牌面朝下洗牌後堆成一疊，由最上方起逐張依序開牌，直到累積出現3張骷髏頭或3枚硬幣便停止。則因累積出現3張骷髏頭而停止的機率為[u] [/u]。
[解答]
先出現 3 張骷髏頭的情形如下：
(1) 前 3 張是骷髏頭且停止
3! * 7!
(2) 第 4 張是骷髏頭且停止
選 1 張骷髏頭放第 4 張，前 3 張中有 1 張非骷髏頭
C(3，1) * C(7，1) * 3! * 6!
(3) 第 5 張是骷髏頭且停止
選 1 張骷髏頭放第 5 張，前 4 張中有 2 張非骷髏頭
C(3，1) * C(7，2) * 4! * 5!
(4) 第 6 張是骷髏頭且停止
選 1 張骷髏頭放第 6 張，前 5 張有 2 種情形，一是 2 張骷髏頭、1 張硬幣、2 張空白，另一是 2 張骷髏頭、2 張硬幣、1 張空白
C(3，1) * [C(5，1) + C(5，2) * C(2，1)] * 5! * 4!
(5) 第 7 張是骷髏頭且停止
選 1 張骷髏頭放第 7 張，前 6 張中有 2 張骷髏頭、2 張硬幣、2 張空白
C(3，1) * C(5，2) * 6! * 3!
以上加起來再除以 10!
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非選第 2 題給定正整數\(n\)。有一張\(n\times n\)的方格紙。對於方格紙上的一對方格，這兩個方格有公共點（可以是共邊也可以是共頂點），則我們稱這一對方格"相鄰"。試求此方格紙上相鄰方格的對數。
[解答]
(1) 橫的相鄰方格
每列有 (n - 1) 對相鄰方格，有 n 列
計有 n(n - 1) 對
(2) 直的相鄰方格
也有 n(n - 1) 對
(3) 斜的相鄰方格
(i) 左下到右上有 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1 = (n - 1)^2 對
(ii) 左上到右下也有 (n - 1)^2 對
所求 = 2[n(n - 1) + (n - 1)^2] = 2(n - 1)(2n - 1)
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第 5 題三角形\(ABC\)中，\(∠A=23^{\circ}\)，\(∠B=46^{\circ}\)。設Γ為以\(C\)為圓心、\(CA\)長為半徑的圓。作\(∠B\)的外角平分線\(L\)，且Γ與\(L\)交於\(M,N\)兩點。則\(∠MAN=\)[u] [/u]。
參考圖
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第 1 題已知\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式\(x^3+ax+1=0\)之三根，其中\(a\)為正實數。方程式\(x^3+bx^2+cx-1=0\)之三根為\(\displaystyle \frac{\alpha}{\beta},\frac{\beta}{\gamma},\frac{\gamma}{\alpha}\)。已知\(\displaystyle \frac{|\;b|\;+|\;c|\;}{a}\)的最小值可以寫成\(m^{1/n}\)，其中\(m,n\)為正整數且\(n\le 9\)，則數對\((m,n)=\)[u] [/u]。
[解答]
α + β + γ = 0
αβ + βγ + γα = a
αβγ = -1
α/β + β/γ + γ/α = -b
α/γ + β/α + γ/β = c
-b + c = (α/β + γ/β) + (β/γ + α/γ) + (γ/α + β/α) = -3
(-b)c = (α/β + β/γ + γ/α)(α/γ + β/α + γ/β)
= -α^3 + 1 - 1/β^3 - 1/γ^3 - β^3 + 1 + 1 - 1/α^3 - γ^3
= -(α^3 + β^3 + γ^3) - (1/α^3 + 1/β^3 + 1/γ^3) + 3
= a^3 + 9
α^3 + β^3 + γ^3 - 3αβγ = (α + β + γ)(α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα) = 0
α^3 + β^3 + γ^3 = 3αβγ = -3
1/α^3 + 1/β^3 + 1/γ^3 - 3/(αβγ) = (1/α + 1/β + 1/γ)[(1/α)^2 + (1/β)^2 + (1/γ)^2 - 1/(αβ) - 1/(βγ) - 1/(γα)]
= (1/α + 1/β + 1/γ){(1/α + 1/β + 1/γ)^2 - 3[1/(αβ) + 1/(βγ) + 1/(γα)]}
= (-a)(-a)^2
= -a^3
1/α^3 + 1/β^3 + 1/γ^3 = -a^3 - 3
-b 和 c 方程式 t^2 + 3t + (a^3 + 9) = 0 之二根
t = [-3 ± √(4a^3 + 27)i] / 2
(|b| + |c|) / a = [2√(a^3 + 9)] / a = √(2a + 2a + 36/a^2) ≧ 3888^(1/6)
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