2017APMO初選考試
設三個不同的質數\(a,b,c\)滿足：\(a|\;(3b-c),b|\;(a-c),c|\;(2a-7b),20<c<80\)
試問：\(a^b c=\)[u] [/u]
想請問老師們這題如何做 印象中是某年 APMO 初選，建議補上年份，方便後人查閱
設 \( c>a \)，則 \( 0 < c - a < c \)，又 \( b \mid c -a \)，故 \( b < c \)
因此 \( c \) 是三質數之中最大者，
而 \( -2c < -2a < 7b - 2a < 7b < 7c \)，又 \( c \mid 7b - 2a \)，故 \( 7b - 2a = -c, 0, c, 2c, 3c, 4c, 5c \) 或 \( 6c \)
令 \( 7b - 2a =kc \)，其中 \( -1 \leq k \leq 6 \) 且 \( k \in \mathbb Z \)
\( b \mid a-c \Rightarrow b \mid k(a-c) \)
而 \( k(a-c) =(k+2)a - 7b \)，又 \( a,b,c \) 為相異質數，故 \( b \mid k+2 \)
\( a \mid 3b-c \Rightarrow b \mid k(3b-c) \)
而 \( k(3b-c) =2a + (3k-7)b \)，又 \( a,b,c \) 為相異質數，故 \( a \mid 3k-7 \)
把所有的 \( k = -1, 0, 1, \ldots, 6 \) 皆代入，即可找出 \( c>a \) 條件下的所有解。
但題意有給 \( 20 < c <80 \)，可利用此條件快速判斷
\( b \mid k+2 \)、 \( -1 \leq k \leq 6 \)、\( b \) 為質數，可得 \( b = 2, 3, 5, 7 \Rightarrow b\leq 7 \)
因此 \( kc = 7b-2a < 49 \Rightarrow k\leq 2 \)
僅需檢查 \( k = -1, 0, 1, 2 \)，可得 \( k =0 \) 時，\( (a,b,c,) = (7,2,41) \)
至於 \( c<a \) 的情況，方法相同，此類情況無解，細節您可以再試試
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謝謝寸絲老師，學到很多頁:
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