Math Pro 數學補給站's Archiver

如果你覺得現在走的辛苦,
那就證明你在走上坡路

克勞棣 發表於 2020-9-28 08:40

相異的兩個圓椎曲線最多都可以有4個交點?

(抱歉!因為80個字符的限制,標題寫得並不完整)
相異的拋物線與拋物線(例如y+1=x^2與x+1=y^2)、相異的雙曲線與雙曲線(例如x^2-y^2=1與x^2-2y^2=-1)、相異的橢圓與橢圓(例如2x^2+y^2=1與x^2+2y^2=1)最多都可以有4個交點,那為什麼相異的圓與圓最多只有2個交點呢?如何證明這個直觀的結果?謝謝!

我知道可以用「三點決定一個圓」(亦即兩個圓如果交於3點以上,則它們是同一個圓)來證明,但有沒有其他方法?

[[i] 本帖最後由 克勞棣 於 2020-9-30 08:50 編輯 [/i]]

克勞棣 發表於 2020-9-30 08:37

回復 1# 克勞棣 的帖子

我說得更清楚一點:
在圓錐曲線中,相異的拋物線與拋物線(例如y+1=x^2與x+1=y^2)、相異的雙曲線與雙曲線(例如x^2-y^2=1與x^2-2y^2=-1)、相異的橢圓與橢圓(例如2x^2+y^2=1與x^2+2y^2=1)、拋物線與圓、拋物線與橢圓、拋物線與雙曲線、雙曲線與圓、雙曲線與橢圓、橢圓與圓(註)最多都可以有4個交點,那為什麼唯獨相異的圓與圓最多只能有2個交點?

註:拋物線3x^2+y=2、雙曲線2x^2-4y^2=1、橢圓2x^2+4y^2=3、圓x^2+y^2=1這四個圖形任選兩個來觀察,都會有4個交點。

謝謝解惑!

Lopez 發表於 2020-9-30 16:42

回復 2# 克勞棣 的帖子

[img]https://i.imgur.com/eBjr5BS.png[/img]
修正:
當 a = 0 時 => r1=r2 這行應修正如下:
當 a = 0 時,
(i) 若 r[size=1]1[/size] = r2 , 則 (1)式[font=新細明體][size=12pt]≡(2)[/size][/font]式, 不符題意"相異圓".
(ii) 若 r1[font=新細明體][size=12pt]≠[/size][/font]r2 , 則 0 = 2ax - a[font=Arial][size=12pt]² = r1[/size][/font][font=Arial][size=12pt]² - r2[/size][/font][font=Arial][size=12pt]² [/size][/font][font=新細明體][size=16px]≠[/size][/font]0 ,矛盾, 即無交點.

[[i] 本帖最後由 Lopez 於 2020-9-30 18:00 編輯 [/i]]

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.