109嘉義高中代理
109嘉義高中代理想請問9 10
7/24嘉中試題疑義回覆
第九題因足碼重複，故此題送分
回復 1# satsuki931000 的帖子
第9題正整數\(n\)是合數，將\(n\)的正因數由小而大依序記為\(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\)，設\(f(n)=d_1+d_2+d_3,g(n)=d_{n-1}+d_n\)，若\(g(n)=(f(n))^3\)，試求所有可能的正整數\(n\)。
這題題目出得不好
應是將\(n\)的正因數由小而大依序記為\({{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}},\cdots ,{{d}_{k}}\)
然後\(g\left( n \right)={{d}_{k-1}}+{{d}_{k}}\)
\({{d}_{1}}=1,{{d}_{k}}=n\)
(1)\({{d}_{2}}=2\)
\(\begin{align}
& \frac{n}{2}+n=g\left( n \right)={{\left( f\left( n \right) \right)}^{3}}={{\left( 1+2+{{d}_{3}} \right)}^{3}} \\
& n={{\left( 3+{{d}_{3}} \right)}^{3}}\times \frac{2}{3} \\
& {{d}_{3}}=3,n=144 \\
\end{align}\)
其餘不合
(2)\({{d}_{2}},{{d}_{3}},\cdots \cdots ,{{d}_{k}}\)均為奇數
\(\begin{align}
& \frac{n}{{{d}_{2}}}+n=g\left( n \right)={{\left( f\left( n \right) \right)}^{3}}={{\left( 1+{{d}_{2}}+{{d}_{3}} \right)}^{3}} \\
& n={{\left( 1+{{d}_{2}}+{{d}_{3}} \right)}^{3}}\times \frac{{{d}_{2}}}{1+{{d}_{2}}} \\
\end{align}\)
\({{\left( 1+{{d}_{2}}+{{d}_{3}} \right)}^{3}}\)為奇數，\(1+{{d}_{2}}\)為偶數，不合
回復 1# satsuki931000 的帖子
第 10 題設\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，點\(D\)為\(\overline{BC}\)上一個動點，過\(D\)做一條平行\(\overline{AC}\)之直線交\(\overline{AB}\)於\(E\)點；過\(D\)做一條平行\(\overline{AB}\)之直線交\(\overline{AC}\)於\(F\)點，而\(D\)對直線\(EF\)的對稱點為\(D'\)，試證\(D'\)在\(\Delta ABC\)的外接圓上。
參考圖 因為學校沒有附上答案
這邊提供小弟自己算的答案
還請各位指教 有錯誤不吝提出
3. 6
4. 7
5.\([2,2\sqrt{2}]\)
7.\(\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}\)
8. 5544 想請問第2題 , 個人認為是必然 , 但想不出很好的解釋 , 不知道有沒有其他說法
回復 5# ibvtys 的帖子
高一的話，就兩者都做一遍就好了回復 4# satsuki931000 的帖子
請問第八題如何計算 謝謝回復 7# three0124 的帖子
在這個網站用扇形和著色這兩個關鍵字搜尋用四色著色扣掉恰用三色和恰用兩色的情形就是答案 3.
令無窮級數\(\displaystyle S=\frac{3}{1^2}+\frac{5}{1^2+2^2}+\frac{7}{1^2+2^2+3^2}+\ldots+\frac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}+\ldots\)，試求\(S\)之值。
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
4.
若三次多項式\(f(x)=2x^3-6x-3\)，則方程式\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根？
考慮三次多項式\(f(x)=-x^3-3x^2+3\)，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪\(y=f(x)\)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令\(f(x)=0\)的實根為\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)，其中\(a_1<a_2<a_3\)。試求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)承(2)，試說明\(f(x)=a_1\)、\(f(x)=a_2\)、\(f(x)=a_3\)各有幾個相異實根？
(4)試求\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根(註：\(f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3\))。
(107指考數甲，[url]https://math.pro/db/thread-2994-1-1.html[/url])
5.
若\(-3\le x \le 1\)，試求\(f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\)的值域。
[提示]
\([(\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{1-x})^2][1^2+1^2]\ge (\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})^2\)
\(f(-3)=2\)，\(f(1)=2\)
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url])
6.
一個邊長為2的正立方體\(ABCD-EFGH\)，點\(M\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(P\)和\(Q\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)及\(\overline{DH}\)上，且\(A,P,M,Q\)為一平行四邊形的四個頂點，如右圖所示，今設定坐標系，使得\(D,A,C,H\)的坐標分別為\((0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)\)和\((0,0,2)\)，試證四角錐\(G-APMQ\)的體積為\(\displaystyle \frac{4}{3}\)。
一個邊長為1的正立方體\(ABCD-EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A,Q,P,R\)為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試回答下列問題。
(1)試求點\(P\)的坐標。
(2)試求向量\(\vec{AR}\)(以\(t\)的式子來表示)。
(3)試證明四角錐\(G-AQPR\)的體積是一個定值(與\(t\)無關)，並求此定值。
(4)當\(\displaystyle t=\frac{1}{4}\)，求點\(G\)到平行四邊形\(AQPR\)所在平面的距離。
(109指考數甲，[url]https://math.pro/db/thread-3357-1-1.html[/url])
解法出自忠明高中 陳冠州老師，[url]https://www.ehanlin.com.tw/infos/ast/file/%E6%8C%87%E8%80%83%E7%B2%BE%E5%BD%A9%E8%A7%A3%E6%9E%90/109%E8%A7%A3%E6%9E%90/109%E6%8C%87%E8%80%83%E7%B2%BE%E5%BD%A9%E8%A7%A3%E6%9E%90_%E6%95%B8%E7%94%B2.pdf[/url]
7.
設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。
已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z}{z-1}\)為純虛數，求\(|\;z-i|\;\)之最大值。
(98新港藝術高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656[/url])
(99台中二中，[url]https://math.pro/db/thread-934-1-1.html[/url])
8.
某校新建的教學大樓一樓共有8個班級，每個班級的班牌都是相同的大小，若學校想用紅，綠，藍，黃四種顏色將班牌上色，每個班牌只上一色，上色的要求如下:
(1)相鄰的兩個班級班牌不同色
(2)第一個班級與第八個班級的班牌顏色不同
(3)四種顏色均須用到
根據以上考量，請問有幾種不同的上色方法？
(更多類題，[url]https://math.pro/db/thread-499-1-1.html[/url]) 想請教第2題，為什麼是必然？
回復 10# beaglewu 的帖子
取後不放回的難點在第一球取到什麼 會影響到第二球我是想成 "取完第一球去領錢 再取第二球然後領錢"
所以取兩球的期望值 = "第一球的獎金期望值 + 第二球的獎金期望值"
而 P(第一球是紅色) = P(第二球是紅色)
所以其實 第一球的獎金期望值 = 第二球的獎金期望值
= 只抽一球所得獎金
有誤再麻煩指正
回復 11# ibvtys 的帖子
謝謝 #ibvtys大 完整的解析頁:
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