Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 108高中數學能力競賽

magicbox72 發表於 2020-7-16 12:32

108高中數學能力競賽

請教老師們這題要如何解？謝謝!!

magicbox72 發表於 2020-7-16 13:37

恩~~自己的問題自己回答!!

還請老師們指教這樣的思路是否有問題？

是否還有其他的想法呢？

謝謝

tian 發表於 2020-11-17 12:58

108高中數學能力競賽

請教第四題
試證對於所有正整數\(n\)，\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2\)

不等式的部分，謝謝各位老師

109.11.21補充
108高中數學能力競賽，h ttps://www.cysh.cy.edu.tw/files/14-1001-8644,r180-1.php　(連結已失效)

thepiano 發表於 2020-11-17 16:26

回復 1# tian 的帖子

先證 \(\displaystyle \frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)\)

tian 發表於 2020-11-17 19:24

回復 2# thepiano 的帖子

老師您好：請問應該如何證明？
謝謝老師！

thepiano 發表於 2020-11-17 19:43

回復 3# tian 的帖子

\(\begin{align}
  & n+1>\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \\
& 2\left( n+1 \right)>\left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \\
& n+1>\frac{\left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}{2} \\
& \left( n+1 \right)\sqrt{n}>\frac{\sqrt{n}\left[ \left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \right]}{2}=\frac{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}{2}=\frac{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}{2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)} \\
& \frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}}<\text{}\frac{2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)}{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}\text{=2}\left( \frac{\text{1}}{\sqrt{n}}-\frac{\text{1}}{\sqrt{n+1}} \right) \\
\end{align}\)

chupapa 發表於 2020-12-12 14:47

108年桃竹苗區學科能力競賽

7.
已知\(\displaystyle 0<x\le \frac{\pi}{2},0<y\le \frac{\pi}{2}\)。設\(\displaystyle z_1=\frac{cosx}{siny}+\frac{cosy}{sinx}i\)，且\(|\;z_1|\;=2\)。若\(z_2=\sqrt{x}+\sqrt{y}i\)，則\(|\;z_1-z_2|\;\)的最大值為[u]　　　[/u]。
想請問老師們如何算

tsusy 發表於 2020-12-17 16:48

回復 1# chupapa 的帖子

之前 Ptt math 板有討論，
有網友指出應為 \( |z_1|=\sqrt{2} \)
試算一下，確實可以得到比較漂亮的化簡

ak269640 發表於 2021-11-2 22:09

108新竹能力競賽筆試二

各位老師好，想請教一題
方程式\(x^5-x^3-x^2-x-1=0\)共有5個複數根，這些根的五次方總和為
答案：10

satsuki931000 發表於 2021-11-3 08:22

回復 1# ak269640 的帖子

設\(\displaystyle f(x)=x^5-x^3-x^2-x-1\)
考慮\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\)，直接做除法，所求為\(\displaystyle x^{-5}\)的係數
得到\(\displaystyle 5+2(x^{-2})+3(x^{-3})+2(x^{-4})+10(x^{-5})+\cdots \)
故得解為10

用遞迴也可以，不過3，4次方和不太好算，故放棄此方法

Christina 發表於 2021-11-3 10:11

回復 1# ak269640 的帖子

用餘式定理，把五次方總和改為(三次方總和)+(兩次方總和)+(五根和)+5，可以得到所求=3+2+5=10

ak269640 發表於 2021-11-3 23:54

謝謝老師們的解惑

laylay 發表於 2021-11-11 09:24

回復 2# satsuki931000 的帖子

令f(x)=an(x-x1)(x-x2)....(x-xn)  , F(t)=x1^t+x2^t+x3^t+.....+xn^t   
f'/f=1/(x-x1)+1/(x-x2)+.......+1/(x-xn)
    =1/x * [ 1/(1-(x1/x))+1/(1-(x2/x)) + 1/(1-(x3/x))+.........+ 1/(1-(xn/x))]
    =1/x * [ (1+ (x1/x)+(x1/x)^2+....) +(1+ (x2/x)+(x2/x)^2+....) +.........(1+ (xn/x)+(xn/x)^2+....)]
    =F(0)/x+F(1)/x^2+F(2)/x^3+.......
故本題所求為F(5)應該是x^(-6)的係數才對喔!
                  5  +0  -3  -2  -1 ........f'
0                      0   0   0   0   0   0
   1                        5   0   2   3   6 10
      1                          5   0   2   3   6  10
         1                            5   0   2   3   6 10
  f          1                             5   0   2   3   6 10
------------------------------------------------------------
                  5 +0 +2 +3 +6+10+11+..... = 5x^(-1)+0x^(-2)+2x^(-3)+3x^(-4)+6x(-5)+10x^(-6)+...... , x^(-6)的係數 10 為所求.

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