109新北市高中聯招
如附件，請參閱 感謝thepiano和Ellipse提供題目出處1.
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為[u] [/u]（以最簡分數表示）。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html[/url])
2.
設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數，\(B\)、\(C\)為另2個集合，滿足\(B∪C=A\)，則這樣的\((B,C)\)共有[u] [/u]。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html[/url])
3.
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為[u] [/u]單位。
(102高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html[/url])
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=4236&k=f7b7442cd383f457f5e9b801d5b2eaf2&t=1500864439&noupdate=yes[/img]
100華江高中二招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid3990[/url]
102高中數學能力競賽，[url]https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html[/url]
4.
設\(a\)、\(b\)為正整數，若\(a^{20}\)為31位數，\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0，則\((ab)^5\)是[u] [/u]位數。
(104高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html[/url])
5.
將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有[u] [/u]種。
(104高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html[/url])
6.
設\(Q_1\)、\(Q_2\)為以原點\(O(0,0)\)為圓心的單位圓和\(x\)軸的兩交點。若上半圓上兩點\(P_1\)和\(P_2\)滿足\(∠P_1OP_2=45^{\circ}\)，則\(\Delta P_1OQ_1\)和\(\Delta P_2OQ_2\)面積和的最大值為[u] [/u]。
(105台灣師大申請入學筆試二試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/download.php?filename=404_9720999a.pdf&dir=archive&title=105%E5%80%8B%E4%BA%BA%E7%94%B3%E8%AB%8B%E7%AD%86%E8%A9%A6%E4%BA%8C[/url])
9.
級數\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}\)之和為有理數，此有理數最簡分數為[u] [/u]。
[提示]
待定係數法
設\(\displaystyle \frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}=\frac{a\cdot 2^{k+1}}{2^{k+1}+(-1)^{k+1}}-\frac{a\cdot 2^k}{2^k+(-1)^k}\)，得\(\displaystyle a=\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle \frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}=\frac{1}{3}\left(\frac{2^{k+1}}{2^{k+1}+(-1)^{k+1}}-\frac{2^k}{2^k+(-1)^k}\right)\)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
計算證明題1.
將長\(\overline{AB}=240\)，寬\(\overline{BC}=288\)的長方形紙張對摺，讓頂點\(C\)剛好落在線段\(\overline{AB}\)的中點\(M\)上，若\(\overline{EF}\)是摺線，則摺線\(\overline{EF}\)的長度為多少？
(101高中數學能力競賽 花蓮區筆試一試題，[url]http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/semi_finals/101/101_north1_semi-finals_writtenexam_1.pdf[/url])
類似題
\(ABCD\)是邊長為1的正方形，沿\(\overline{PQ}\)對折，使得\(A,B\)對折之後分別重合於\(A',B'\)兩點，且\(B'\)在\(\overline{CD}\)上，
(a)證明\(\Delta RB'D\)的周長為2。
(b)求\(\Delta QB'C\)的最大面積。
(97國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html[/url])
109.10.2補充
摺到中點時，各線段的比例
[url]https://books.google.com.tw/books?id=zJR2Rr_wuFQC&lpg=PP1&hl=zh-TW&pg=PA7#v=onepage&q&f=true[/url]
Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding
[attach]5651[/attach]
回復 1# AshsNutn 的帖子
出題費也太好賺了 ......回復 1# AshsNutn 的帖子
請教計算2 計算2空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。
[解答]
\(\overline{AP}\)為定值的動點軌跡為一圓，欲使\(\overline{OP}\)最大，故取過圓心且較遠的點
所求為\(\displaystyle\frac{7+r}{\sqrt{1+r^2}}\)，微分解得當\(\displaystyle r=\frac{1}{7}\)時有最大值\(5\sqrt{2}\)
回復 1# AshsNutn 的帖子
填充題第 1 & 2 & 3 題
102 能力競賽，北一區
第 4 & 5 題
104 能力競賽，北一區
計算題
第 1 題
101 能力競賽，北一區
計算二
空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。
[解答]
解一
設PO=kPA(阿波羅球)與平面相切
計算後可得等號成立於k=√50
此時阿波羅球
(x-250/49)^2+(y+200/49)^2+(z-150/49)^2=(50/49)^2
與平面切於(100/21,-100/21,50/21)
解二
偷吃步另解
設平面F為過OA且與平面E垂直的平面
則P落在兩平面交線上
不難得知P(2t,-2t,t)
故所求=√[(9t^2)/((2t-5)^2+(-2t+4)^2+(t-3)^2)]
後面這邊很巧妙的化為一元求極值這邊留給你了，可以得到極值發生在t=50/21 [quote]原帖由 [i]AshsNutn[/i] 於 2020-6-21 17:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21535&ptid=3351][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如附件，請參閱 [/quote]
看看這次新北會不會有大學教授來關心考題 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2020-6-21 20:18 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21542&ptid=3351][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
看看這次新北會不會有大學教授來關心考題 [/quote]
一半用抄的，連數字都沒改
呼叫一下去年那個教授 ...... [quote]原帖由 [i]AshsNutn[/i] 於 2020-6-21 17:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21535&ptid=3351][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如附件，請參閱 [/quote]
填6:
"高中數學學科中心研發試題(97年度)" 改數據
原題目90度(這題改45度) 想請問各位老師
計算2
如果用科西不等式算
令P(a,b,c)，讓AP線段最短使得OP/AP最大
這樣是哪個環節出問題？
算出來最大值只有7......
回復 12# chen3553 的帖子
OP 不是定值 [quote]原帖由 [i]chen3553[/i] 於 2020-6-21 22:49 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21546&ptid=3351][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請問各位老師
計算2
如果用科西不等式算
令P(a,b,c)，讓AP線段最短使得OP/AP最大
這樣是哪個環節出問題？
算出來最大值只有7...... [/quote]
AP在變,OP也跟著變
並不是讓AP線段有最小值,OP/AP就會最大
回復 13# thepiano 14#Ellipse
謝謝E大和鋼琴大 計算2空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。 據說他們又找了同一個教授出題，
但該教說連兩年同一個教授出，題目重複率太高，推掉了。今年換了另一位。
題目抄的話，至少要換個數字，都一樣的話實在有點混。
[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2020-6-21 20:45 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21543&ptid=3351][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
一半用抄的，連數字都沒改
呼叫一下去年那個教授 ...... [/quote]
回復 4# Sandy 的帖子
計算第2題空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。
[解答]
在\(\Delta OAP\)中，作\(\overline{AH}\)垂直\(\overline{OP}\)於\(H\)
由正弦定理，\(\frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}=\frac{\sin \angle OAP}{\sin \angle AOP}=\frac{\sin \angle OAP}{\frac{\overline{AH}}{\overline{AO}}}=\frac{5\sqrt{2}\sin \angle OAP}{\overline{AH}}\)
其最大值出現在\(\overline{AH}\)最小，而\(\sin \angle OAP\)最大時
此時，\(\frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}=\frac{5\sqrt{2}\times 1}{\frac{\left| 5-8+6 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}}=5\sqrt{2}\)
\(\begin{align}
& {{\overline{OA}}^{2}}=\overline{OH}\times \overline{OP} \\
& \overline{OP}=\frac{50}{7} \\
& \frac{\overline{OP}}{\overline{OH}}=\frac{50}{49} \\
& H\left( \frac{14}{3},-\frac{14}{3},\frac{7}{3} \right) \\
& P\left( \frac{100}{21},-\frac{100}{21},\frac{50}{21} \right) \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-22 18:07 編輯 [/i]] 主要是要找會教的老師,至少課本的定義公式都需要會證吧
但這方面,或許還是有些考生尚未準備足夠
若考幾題課本內證明或是延伸還比較有意義
提供以下部分供參考
課本基本定義公式的證明
1.三向量所張成平行六面體之行列式證明
2.點到直線距離公式...
3.在還沒有學到向量前~如何向學生說明點到直線距離公式...(不用向量方式證明,因為新課綱把向量放在後面才教)
4.點到平面距離公式...
5.鏡射,旋轉,伸縮,轉移矩陣的證明
6.線性變換的面積比公式
7.馬可夫鏈...
8.輾轉相除法原理
9.正、餘弦公式、和差角公式
10.空間中三垂線定理
11.整係數多項式一次因式檢驗法
12.a>0為固定數 ,證明方程式x^n=a(n為正整數)恰有一個正實根
......
進階公式的證明或計算
1.圓內接四邊形的面積公式的證明(海龍公式的推廣)
2.證明托勒密定理或應用
3.證明lim{n->∞} n^(1/n)= 1
4.證明(1+1/n)^n為遞增數列
5.證明魏琴柏克不等式(或推廣)
6.證明Napier不等式
7.費波那契數列題型
8.一路領先的題型
9.垂足三角形的題型
10.廣義柯西不等式的證明
11.證明1-1/3+1/5-1/7+….-…….=π/4
12.證明1/(1^2) +1/(2^2)+1/(3^2)+……….. =(π^2)/ 6
........
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-23 08:14 編輯 [/i]] [quote]
據說他們又找了同一個教授出題，
但該教說連兩年同一個教授出，題目重複率太高，推掉了。今年換了另一位。
題目抄的話，至少要換個數字，都一樣的話實在有點混。
... [/quote]
一般教甄至少會找兩位老師命題,然後再交給其他老師組題(命題小組)
會出現有一半題目都是能力競賽,且都是那幾年的"北一區"
實在是"不可思議",更何況是大型聯招.....
"109新北市高中聯招",怎變成在考 "能力競賽複習考"?
"109新北市立高中教師聯合甄選委員會"應該要收回出題費
及追究責任,並檢討這種事日後不會再發生
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-23 08:36 編輯 [/i]] 填充第 3 題，一大球八小球這題
當年的能力競賽和現在網路上的試題，圖都是灰階的
而新北這次 PDF 檔的圖居然進階到彩色
兩個圖一模一樣，只差在顏色
這就說明都是同一個人出的
整張考卷中，一半的題目都是抄自"同一區"的能力競賽
如果說這只是"有點混'，那教授們對自己的標準會不會太低了?
新北市聯招委員會多學學全國聯招的高水準吧!
頁:
[1]
2