109新竹建功國中部
請教13~15 1.在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以最左下的位置為起始點，向內螺旋的方式排列正整數，如圖所示，
為\(n=3\)與\(n=5\)的排列結果。若\(n=15\)，試求左下至右上的對角線上所有元素的和為[u] [/u]
\(\matrix{7&6&5\cr 8&9&4\cr 1&2&3}\)
\(\matrix{13&12&11&10&9\cr 14&23&22&21&8\cr 15&24&25&20&7\cr 16&17&18&19&6\cr 1&2&3&4&5}\)
在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以向內螺旋的方式排列正整數，如下所示，為\(n=5\)的排列結果。若\(n=27\)，試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
\(\matrix{1&2&3&4&5\cr 16&17&18&19&6\cr 15&24&25&20&7\cr 14&23&22&21&8\cr 13&12&11&10&9}\)
thepiano解題
(99家齊女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=958&page=1#pid2184[/url])
2.
若\(x\)為自然數，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)為\(x\)的最小的四個相異正因數，且滿足\(x=A^2+B^2+C^2+D^2\)，試求\(x=\)[u] [/u]。
Joy091解題
(100中壢高中二招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=3#pid3975[/url])
8.
若有一枚特製的硬幣，出現反面機率為出現正面機率的兩倍，小明擲此硬幣8次，他從數線上的0開始，若投擲的錢幣出現正面，則向數線的正向走1單位；若出現反面，則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾經達到數線正向4的機率為何[u] [/u]。
小杰投擲一枚公正的錢幣8次，他從數線上的0開始，若投擲的錢幣出現正面，則向數線的正向走1單位；若出現反面，則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾達到數線正向4的機率為\(\displaystyle \frac{a}{b}\)，其中\(a\),\(b\)為互質的正整數，則\(a+b\)之值為何？(例如，他投擲錢幣出現「正反正正正正正正」的情形就有經過正向4)
(A)69 (B)151 (C)257 (D)293 (E)313
連結有解答
(2016AMC12，[url]https://math.pro/db/thread-2445-1-1.html[/url])
9.
\(\sqrt{2499}=\sqrt{A}+\sqrt{B}\)，且\(A<B<1000\)，則\(B-A\)之值為[u] [/u]。
\(\sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)且\(0<x<y\)，求整數對\((x,y)\)？
[url]https://math.pro/db/thread-664-1-1.html[/url]
12.
圓\(O\)中兩條互相垂直的弦將圓\(O\)分成四部分：\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)、\(S_4\)。若\(\overline{AB}\)和\(\overline{CD}\)的弦心距分別為3和5，則\((S_1+S_3)-(S_2+S_4)=\)[u] [/u]。
一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分，面積分別為\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(R_4\)，且\(R_1>R_2>R_3>R_4\)，若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3，求\(R_1-R_2-R_3+R_4=\)？
(A)40 (B)44 (C)48 (D)52 (E)56
thepiano解題
(103台南一中數理暨語文資優班，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2283&page=1#pid13606[/url])
13.
設\(D\)、\(E\)分別在\(\Delta ABC\)的\(\overline{AC}\)和\(\overline{AB}\)上，\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1\)、\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}\)，若\(\Delta ABC\)的面積為40，則四邊形\(AEFD\)的面積為[u] [/u]。
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{CD}\)交\(\overline{BE}\)於\(F\)，已知\(\Delta BDF\)面積為10，\(\Delta BCF\)面積為20，\(\Delta CEF\)面積為16，則四邊形區域\(ADFE\)之面積為 。
(100苑裡高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1178&page=2#pid4270[/url])
19.
將長方形\(ABCD\)沿著對角線\(\overline{AC}\)摺起，使得平面\(ABC\)與平面\(ADC\)互相垂直，若\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，試求\(\overline{BD}=\)[u] [/u]。
[公式]
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}}\)
將一塊邊長\(\overline{AB}=a\)公分\((a>0)\)、\(\overline{BC}=b\)公分\((b>0)\)的長方形鐵片\(ABCD\)沿對角線\(\overline{BD}\)對摺後豎立，使得平面\(ABD\)與平面\(CBD\)垂直，則\(A\)、\(C\)兩點(在空間的距離\(\overline{AC}=\)[u] [/u]。
(107松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-2972-1-1.html[/url])
20.
正方形\(ABCD\)中，\(\Delta ABF\)、\(\Delta CEF\)及\(\Delta DAE\)的面積分別為4、5、6，請問\(\Delta AEF\)的面積為何？
計算2.
有一平行四邊形\(ABCD\)，若過頂點\(A\)作一圓，且分別交\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)及對角線\(\overline{AC}\)或其延長線於\(E\)點、\(F\)點、\(G\)點。請利用托勒密定理證明：\(\overline{AC}\times \overline{AG}=\overline{AB}\times \overline{AE}+\overline{AD}\times \overline{AF}\)
hua0127解題
[url]https://math.pro/db/thread-1896-1-1.html[/url]
計算4.
實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\omega\)，其中\(\alpha+\beta=3+4i\)且\(\gamma \omega=5+2i\)，則\(a+b+c+d=\)[u] [/u]。
實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\omega\)，其中\(\alpha+\beta=3+6i\)且\(\gamma\omega=4+3i\)，則\(a+b+c+d=\)[u] [/u]。
weiye解題
(107建國中學二招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2970&page=2#pid19057[/url])
已知\(a,b,c,d\)為實數，且方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四個虛根，其中兩根的乘積為\(13+i\)，另外兩根的和為\(3+4i\)，求 \(a,b\)之值?
[url]https://math.pro/temp/qq60.pdf[/url]
回復 2# bugmens 的帖子
感謝老師回復 1# nansir0936 的帖子
第 14 題正方形\(ABCD\)，其中\(\overline{CB}=\overline{CF}\)、\(\overline{EG}// \overline{AB}\)、\(\overline{EG}=3\)、\(\overline{FG}=1\)，求正方形邊長為何？
參考附圖，答案是 6
回復 4# thepiano 的帖子
跟老師一樣延長了EG，結果就卡關了，平分角BCF才是關鍵啊，謝謝老師指點迷津! 想請教一下填充第4，5，6，11，15，16題話說這份有答案嗎?
想確認一下
可能錯很多，煩請大力指正！
回復 6# abc409212000 的帖子
第8題若有一枚特製的硬幣，出現反面機率為出現正面機率的兩倍，小明擲此硬幣8次，他從數線上的0開始，若投擲的錢幣出現正面，則向數線的正向走1單位；若出現反面，則向數線的負向走1單位。如果他在移動的過程中曾經達到數線正向4的機率為何[u] [/u]。
硬幣不是公正的，答案應是\(\displaystyle \frac{209}{6561}\)
第18題
直線\(L_1\)經\(A(1,1,0)\)、\(B(2,1,1)\)，直線\(L_2\)經\(C(1,1,1)\)、\(D(1,3,2)\)，另一直線\(L_3\)過\(E(2,0,1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)均相交，則\(L_2\)、\(L_3\)之交點坐標為[u] [/u]。
104桃園高中考過，答案應是 (1，-1，0)
其它您寫的答案都是正確的
回復 6# abc409212000 的帖子
第 4 題若\(a=4sin20^{\circ}+tan20^{\circ}\)且\(\displaystyle b=\frac{1}{sin10^{\circ}}-4sin70^{\circ}\)，則\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)[u] [/u]。
[解答]
分開算，a = √3，b = 2
第 5 題
將任意三位數重複寫兩次構成一個新的六位數，例如:135135、256256…。像這樣的六位數中，能被2821整除的最小數為[u] [/u]。
[解答]
2821 = 7 * 13 * 31
任意三位數重複寫兩次構成的六位數是 1001 = 7 * 11 * 13 的倍數
所以所求 = 1001 * 31 * 4
第 6 題
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{CA}=\overline{CB}\)且\(∠C=20^{\circ}\)，分別在\(\overline{AC}\)、\(\overline{BC}\)上取\(D\)點、\(E\)點，使得\(∠DAE=10^{\circ}\)、\(∠EBD=20^{\circ}\)，請問\(∠AED\)的度數為[u] [/u]。
幾何名題，做法 google 一下
第 11 題
二次函數\(y=ax^2+bx+c\)的圖形一部分如圖所示，則\(a\)值的範圍為[u] [/u]。
[解答]
過 (0，1)，c = 1
過 (1，0)，a + b + c = 0，b = - a - 1
開口朝下，a < 0，頂點又在第二象限，b < 0
故 -1 < a < 0
回復 7# thepiano 的帖子
感謝thepiano老師，已重新修改為正確答案順手附上第八題修正後過程，供參考
#回覆15題
如圖，在正五邊形\(ABCDE\)內取一點\(F\)，使得\(\overline{AF}=\overline{AE}\)、\(\overline{FC}⊥ \overline{CD}\)，求\(∠AFE=\)[u] [/u]度。淺見提供
回復 6# abc409212000 的帖子
第16題如圖，\(\Delta ABC\)中，\(\overline{CD}\)、\(\overline{BE}\)分別為兩邊上的高且交於\(F\)點。若\(\overline{AB}=7\)、\(\overline{BC}=5\)、\(\overline{DE}=3\)，則\(\overline{BE}\)的長度為何？[u] [/u]
[解答]
B、C、E、D四點共圓
\(\begin{align}
& \Delta ADE\sim \Delta ACB \\
& \frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{CB}} \\
& \frac{\overline{AE}}{7}=\frac{3}{5} \\
& \overline{AE}=\frac{21}{5} \\
& \overline{BE}=\sqrt{{{\overline{AB}}^{2}}-{{\overline{AE}}^{2}}}=\frac{28}{5} \\
\end{align}\)
不過如此一來，\(\overline{BE}>\overline{BC}\)，不合，故此題應送分
回復 6# abc409212000 的帖子
參考答案如下：[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3215[/url] 感謝thepaino、王重鈞老師！！
問題皆已解決，附上第六題可參考網站
[url]https://nbhwj.com/2013/10/%E4%B8%80%E9%81%93%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%E7%9A%84%E5%A4%9A%E7%A7%8D%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%96%B9%E6%B3%95/[/url] 想說嘗試看看第六題代數解
接下來卻卡關...
再麻煩各位老師
回覆14#
淺見分享回復 15# 王重鈞 的帖子
真是太感謝您了！回覆16#
不客氣！很少來逛這裡 能幫上忙我也很開心！ 計算第一題的想法 還請各位大神檢驗一下是否正確已知\(f(x)=|\;log x|\;\)，若\(0<a<b\)且\(f(a)=f(b)\)，其中\(a,b\)為實數，證明：\(a+2b>3\)。
[解答]
設\(A(a,-log(a))\)、\(B(b，log(b))\)
由題目條件，可知\(\displaystyle b=\frac{1}{a}\)，且\(0<a<1\)
故\(\displaystyle a+2b=a+\frac{2}{a} \)在\(0<a<1\)為遞減函數
可知\(\displaystyle a+\frac{2}{a}>3\)
感謝鋼琴老師糾正筆誤
回復 18# satsuki931000 的帖子
A(a，-log(a))填七
設平面上有\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\)，若\(2\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{BC}\)，\(\vec{QA}+3\vec{QB}+\vec{QC}=\vec{CA}\)，\(\vec{RA}+\vec{RB}+4\vec{RC}=\vec{AB}\)，求\(\Delta PQR\)與\(\Delta ABC\)之面積比值[u] [/u]。[解答]
可能太簡單，乏人問津，小弟自告奮勇。
\(2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{QA}+3\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB}+4\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AB}\)
\(2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{PC}\)
\(3\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{QA}\)
\(\overrightarrow{RA}+4\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{RB}\)
\(2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{BP}\)
\(3\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{CQ}\)
\(\overrightarrow{RA}+4\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AR}\)
\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BP}\)
\(3\overrightarrow{QB}=2\overrightarrow{CQ}\)
\(2\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{AR}\)
....能找到P在\(\overline{AB}\)上，且\(\overline{AP}:\overline{PB}=1:1\)
Q在\(\overline{BC}\)上，\(\overline{BQ}:\overline{QC}=2:3\)
R在\(\overline{AC}\)上，\(\overline{AR}:\overline{RC}=2:1\)
方能找到\(\Delta PQR:\Delta ABC\)的比值了。
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