109中科實中國中部
國中部資優數學缺 2.設\(\displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2}\)，求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2020}f(\frac{n}{1010})=\)[u] [/u]。
[提示]
\(f(x)+f(2-x)=0\)
3.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}\)之值為[u] [/u]。
[提示]
待定係數法
設\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{ak+b}{k(k+1)}-\frac{a(k+1)+b}{(k+1)(k+2)}\)，得\(a=7,b=3\)
\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{7k+3}{k(k+1)}-\frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}\)
設\(\displaystyle \frac{7k+3}{k(k+1)}=\frac{a}{k}-\frac{b}{k+1}\)，得\(a=3,b=-4\)
\(\displaystyle \frac{7k+3}{k(k+1)}=\frac{3}{k}+\frac{4}{k+1}\)
設\(\displaystyle \frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\frac{a}{k+1}-\frac{b}{k+2}\)，得\(a=3,b=-4\)
\(\displaystyle \frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\frac{3}{k+1}+\frac{4}{k+2}\)
\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{7k+3}{k(k+1)}-\frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\left(\frac{3}{k}+\frac{4}{k+1} \right)-
\left(\frac{3}{k+1}+\frac{4}{k+2}\right)=\left(\frac{3}{k}-\frac{3}{k+1}\right)+\left(\frac{4}{k+1}-\frac{4}{k+2}\right)\)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
求值：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3+8k^2+15k}= \)[u] [/u]。
(106全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=2#pid17282[/url])
4.
設\(A\)表質因數為2或3或5的所有正整數所形成的集合。集合\(A\)中，所有元素的倒數之和為無窮級數
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\ldots\)，求此級數的總和為[u] [/u]。
(請化至最簡分數，否則不予計分)
設\(A\)表質因數至多為2或3或5的所有正整數所形成的集合。\(A\)中所有元素的倒數之和為無窮級數
\(\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\ldots\)
若此總和可以表示為\(\displaystyle \frac{m}{n}\)，其中\(m,n\)為互質的正整數，則\(m+n=\)？
(A) 16 (B) 17 (C) 19 (D) 23 (E) 36
(2018AMC12A，[url]https://math.pro/db/thread-2917-1-1.html[/url])
5.
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr ☐}\)。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有[u] [/u]的舖法。
☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐
☐☐
一個房間的地面是由12個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用6塊磁磚撲滿房間地面的方法有[u] [/u]種。
(103學測，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1793&page=1#pid9544[/url])
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐
☐☐
一個房間的地面是由16個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用8塊磁磚舖滿房間地面的方法有[u] [/u]種。
(臺中區國立高中104 學年度第二次學測模擬考，[url]https://math.pro/db/redirect.php?fid=7&tid=25&goto=nextoldset[/url])
11.
若\(x>y>z\)，解\(\cases{x+y+z=10 \cr x^2+y^2+z^2=38 \cr x^3+y^3+z^3=154}\)，求數對\((x,y,z)=\)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076[/url])
12.
設數列\(\displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\)，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\)[u] [/u]。
[url]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]
計算證明題
1.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)、\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)，求此數列的一般項\(a_n\)。
[解答]
令\(b_n=\sqrt{1+24a_n}\)，則\(\displaystyle a_n=\frac{1}{24}(b_n^2-1)\)
故\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)\)，代入\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)得
\(\displaystyle \frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)=\frac{1}{16}[1+4\cdot \frac{1}{24}(b_n^2-1)+b_n]\)即\(4b_{n+1}^2=(b_n+3)^2\)
因為\(b_n=\sqrt{1+24a_n}\ge 0\)，故\(b_{n+1}=\sqrt{1+24a_{n+1}}\ge 0\)則\(2b_{n+1}=b_n+3\)，即\(\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{3}{2}\)
可化為\(\displaystyle b_{n+1}-3=\frac{1}{2}(b_n-3)\)，
所以\(\{\;b_n-3 \}\;\)是以\(b_1-3=\sqrt{1+24a_1}-3=\sqrt{1+24 \cdot 1}-3=2\)為首項，以\(\displaystyle \frac{1}{2}\)為公比的等比數列，
因此\(\displaystyle b_n-3=2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\)，則\(\displaystyle b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3\)，即\(\displaystyle \sqrt{1+24a_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3\)，
得\(\displaystyle a_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}\)。
其他方法請見
求遞推數列通項公式的十種策略例析，[url]https://math.pro/db/attachment.php?aid=5567&k=97af2e099634c1f62d8803ee78afbe34&t=1593040418[/url]
111.4.19補充
111高雄女中也考相同題目，[url]https://math.pro/db/thread-3624-1-1.html[/url]
類似題
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)\)，
而數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)定義為\(b_n=\sqrt{1+4a_n}\)。
(1)問：數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)為何種數列？
(2)求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項公式。
(105高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試一試題，[url]https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html[/url])
3.
投擲兩粒公正的骰子，當點數和為7時，可得100元獎金，並取得繼續投擲的權利，若第二回又擲出點數和為7，可再得100元並可繼續投擲，如此繼續進行，設\(X\) 表示此人所得獎金數，試求：
(1)\(E(X)=\)？
(2)\(Var(X)=\)？
雅妮參加擲骰子比賽，遊戲規則如下：每次投擲二顆相同的公正骰子，
(1)若擲出點數和為7點，可得獎金100元，並可以繼續投擲；若再擲出點數和為7點，則再得100元，並可以繼續投擲，以此類推，
(2)若擲出點數和不是7點，則得30元，並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為[u] [/u]。
thepiano解題，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3012[/url]
(102文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1579&page=5#pid7975[/url])
回復 1# Superconan 的帖子
填充第 5 題，等高手來解其餘答案請參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3210[/url]
有錯請指正
回復 1# Superconan 的帖子
填充第 5 題☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr ☐}\)。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有[u] [/u]的舖法。
[解答]
圖 A，有 89 種排法
圖 B，有 5 * 5 = 25 種排法
圖 C，有 2 * 5 = 10 種排法
圖 D，有 2 * 13 = 26 種排法
圖 E，有 2 * 5 = 10 種排法
合計 89 + 25 + 10 + 26 + 10 = 160 種排法
不知有無遺漏 ...... 請教6.7.10
回復 5# jasonmv6124 的帖子
第 6 題\(\cases{109(x-1)^3+2020x=4149 \cr 109(x^2-2x-1)^3+2020(x^2-2x)=-109}\)之實數解為[u] [/u]。
[解答]
從第一條式子，可看出一實根 2，代入第二式也符合
函數\(f\left( x \right)=109{{\left( x-1 \right)}^{3}}+2020x-4149\)嚴格遞增
故僅有一實根2
第 7 題
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠A=40^{\circ}\)，且\(P\)為\(\overline{AB}\)
邊上的一點使得\(∠APC=120^{\circ}\)，求\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\)[u] [/u]。
[解答]
令\(\overline{BC}=1\)，所求為\(\overline{AP}\)
\(\begin{align}
& \frac{\overline{AP}}{\sin \angle ACP}=\frac{\overline{AC}}{\sin \angle APC} \\
& \frac{\overline{AP}}{\sin 20{}^\circ }=\frac{\overline{AC}}{\sin 120{}^\circ } \\
& \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin \angle ABC}=\frac{\overline{BC}}{\sin \angle BAC} \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin 70{}^\circ }=\frac{1}{\sin 40{}^\circ } \\
& \\
& \overline{AP}=\frac{\sin 70{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \sin 40{}^\circ }=\frac{\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \times 2\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{align}\)
回復 5# jasonmv6124 的帖子
第 10 題給定坐標平面上四點\(A(0,0)\)、\(B(3,-2)\)、\(C(6,0)\)、\(D(5,2)\)及直線\(L\)。若直線\(L\)剛好同時將兩個三角形\(\Delta ABC\)、\(\Delta ADC\)面積平分，且與\(\overline{AC}\)相交於\(E\)點，求\(E\)點坐標為[u] [/u]。
[解答]
直線L和\(\overline{AD}\)交於\(F\left( a,\frac{2}{5}a \right)\)，和\(\overline{AB}\)交於\(G\left( b,-\frac{2}{3}b \right)\)
\(\begin{align}
& \Delta ACD=\Delta ACB=6,\Delta AEF=\Delta AEG=3 \\
& \frac{2}{5}a=\left| -\frac{2}{3}b \right| \\
& b=\frac{3}{5}a \\
& \overline{AE}=\frac{a+b}{2}=\frac{4}{5}a \\
& \\
& \Delta AEF=\frac{4}{5}a\times \frac{2}{5}a\times \frac{1}{2}=3 \\
& a=\frac{5}{2}\sqrt{3} \\
& E\left( 2\sqrt{3},0 \right) \\
\end{align}\)
回復 3# thepiano 的帖子
請問填充4是否還需要減1,想法是題目不包含加1,所以我是算11/4回復 8# 有魚魚 的帖子
您是對的，這題是 2018 AMC 12 的題目，原題有 1，這題沒有回復 9# thepiano 的帖子
感謝回復 6# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴大 想請教一下填充13、計算證明2(填充13僅想到要偏微分找切線斜率為0的切點，但總覺得有更好的方法)
回復 12# abc409212000 的帖子
計算證明第 2 題設\(x\)、\(y\)、\(z\)皆為正實數，試證：\(\displaystyle \sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(x+z)}\le \frac{3}{2}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\)。
107 台中女中考過，請參考 cefepime 老師的妙解
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=3#pid18481[/url]
小弟的解法如下：
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2853[/url]
回復 13# thepiano 的帖子
謝謝thepiano老師，做過又忘記，計算2已清楚了！ 想請問填充第1題回復 15# enlighten 的帖子
第1題求\(17^5+18\)的所有正質因數總和為[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& {{x}^{5}}+x+1 \\
& ={{x}^{5}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x+1 \\
& ={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \\
& =\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right) \\
\end{align}\)
回復 16# thepiano 的帖子
謝謝，想再請問第13題回復 17# enlighten 的帖子
第13題複數平面上，若複數\(z\)滿足\(|\;z+1-2i|\;-|\;z-5-10i|\;=8\)，則\(z\)為到實軸的最近距離為[u] [/u]。
[解答]
複數平面上到 (-1，2) 和到 (5，10) 的距離差為 8
圖形為雙曲線\(\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}}=8\)的右支
上式可化簡為\(7{{x}^{2}}-24xy+116x+48y-116=0\)
它的右支會與\(y=6+\sqrt{7}\)相切 想請問計算證明3(2)，謝謝。
回復 19# koeagle 的帖子
投擲兩粒公正的骰子，當點數和為7時，可得100元獎金，並取得繼續投擲的權利，若第二回又擲出點數和為7，可再得100元並可繼續投擲，如此繼續進行，設\(X\)表示此人所得獎金數，試求：(1)\(E(x)=\)？
(2)\(Var(x)=\)？
[解答]
使用\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \)
\(E(X^2) \)用兩次差比級數應該能做得出來
算了一下
\(\displaystyle E(X^2)=100^2\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+\cdots \)
\(\displaystyle\frac{1}{6}E(X^2)=100^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^4\times \frac{5}{6}+\cdots \)
相減得\(E(X^2)=100(100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)\)
再用一次差比可求出\(S=100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)=28\)
因此\(E(X^2)=2800\)
又\(E(X)=20 \)
所求\(Var(X)=2800-20^2=2400 \)
頁:
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