109新北市國中聯招
8.已知\(1105=5\times 13 \times 17\)。將1105寫成兩個正整數的平方和，共有幾種不同的方法？(註：\(2^2+1^2\)與\(1^2+2^2\)視為相同)
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
丟番圖恆等式\( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \)
[url]https://math.pro/db/thread-629-1-1.html[/url]
14.
數列\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)依下述定義給出：\(\displaystyle a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}}{a_n}\)，而\(n \ge 1\)。給定\(a_1=2\)及\(a_2=5\)，則\(a_{2002}\)之值為多少？
(A)\(\displaystyle \frac{3}{5}\) (B)\(\displaystyle \frac{4}{5}\) (C)2 (D)5
(2002澳洲AMC高級卷)
2002~2007澳洲AMC題目，[url]http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/visit.php?lid=189[/url]
2004~2019澳洲AMC題目，[url][http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/viewcat.php?cid=22[/url]
15.
方程式\(x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}}=1\)的實數有多少個？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2005澳洲AMC高級卷)
16.
若\(n\)為質數，且\(n^4-38n^2+169\)為質數，則\(n=\)？
(A)2 (B)6 (C)8 (D)10
連結有解答[url]https://blog.xuite.net/wang620628/twblog/126086251-%E8%A8%ADn%5E4-38n%5E2%2B169%E6%98%AF%E5%80%8B%E8%B3%AA%E6%95%B8%EF%BC%8Cn%E6%98%AF%E6%95%B4%E6%95%B8%EF%BC%8C%E5%89%87n%3D%EF%BC%9F[/url]
21.
以\(\Delta ABC\)的三中線為邊所成的三角形，其面積是\(\Delta ABC\)面積的幾倍？
(A)\(\displaystyle \frac{4}{5}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
類似題
\(\Delta ABC\)的三中線長分別為\(5,\sqrt{73},2\sqrt{13}\)，求\(\Delta ABC\)之面積[u] [/u]
(99華江高中，[url]https://math.pro/db/thread-1010-1-1.html[/url])
(103桃園高中二招，[url]https://math.pro/db/thread-1949-1-1.html[/url])
已知\(\Delta ABC\)的面積為\(24\sqrt{2}\)，其中兩條中線的長度分別為6、9，求第三條中線的長度。
(建中通訊解題第158期)
30.
凸10邊形，把每條對角線都連上，最多可以把此10邊形內部分為幾塊區域？
(A)256 (B)246 (C)200 (D)128
[公式]
\(C_0^n+C_2^n+C_4^n-n\)
平面有一個凸10邊形，連接其所有對角線，最多可以把此10邊形的內部分為[u] [/u]塊區域。
(109高中數學能力競賽，[url]https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html[/url])
已知一個凸八邊形中的任意3條對角線不交於形內一點，求這些對角線將凸八邊形分成的區域的個數？
(建中通訊解題第55期)
33.
某圓內接六邊形\(ABCDEF\)，其中\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1\)、\(\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FA}=2\)，請問此六邊形的面積為何？
(A)13 (B)\(13\sqrt{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{4}\)
連結有解答
(93國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url]) 33題解答是為了算半徑，所以比較麻煩。
其實這題可以秒解，
看成13個邊長為1的三角形，所以面積是13倍的四分之根號3。
從一個國小科展看來的, 該科展還算了一些整數邊長的多邊形, 剛剛要找一時找不到。
請教第23題
想法：假設\(x^2+x-2=k^2\)然後有爬一下文找到判別是為完全平方數這個地方我不太懂
或是有其他解法都歡迎提供謝謝！ [quote]原帖由 [i]彤仔[/i] 於 2021-6-14 23:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23044&ptid=3346][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想法：假設x^2+x-2=k^2
然後有爬一下文找到判別是為完全平方數這個地方我不太懂
或是有其他解法都歡迎提供謝謝！ [/quote]
令x² +x-2=k² , (x+1/2)² -k² =2+1/4=9/4
(2x+1)² -4k² =(2x+1+2k)(2x+1-2k)=9
所以(2x+1+2k)=9,(2x+1-2k)=1 或(2x+1+2k)=1,(2x+1-2k)=9
或(2x+1+2k)= -9,(2x+1-2k)= -1或(2x+1+2k)= -1,(2x+1-2k)= -9
或(2x+1+2k)=3,(2x+1-2k)=3或(2x+1+2k)= -3,(2x+1-2k)= -3
解出x=2 , -3 ,1,-2 共四個
回復 5# Ellipse 的帖子
謝謝老師的解答！另外檔案的這題也是類似問平方數的題型
我的疑惑是,這種題目也是用此方法操作嗎？
回復 6# 彤仔 的帖子
本題要用橢圓老師的方法當然可以但是會花掉很多時間
本題可以發現其實只要去判斷奇偶性就可以了
(B)\(4(n^2+n+1)\)，\(n^2+n+1\)必定為奇數，所以不可能是平方數
回復 7# satsuki931000 的帖子
應該說 n^2 < n^2 + n + 1 < (n + 1)^2 吧？回復 8# thepiano 的帖子
瞬間突破盲點,提完係數我都不知道該怎麼辦頁:
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