109樟樹國際實創高中
三、2.(2)
投擲一個公正骰子兩次，設出現點數分別是\(m\)和\(n\)，則函數\(f(x)=-4x^2-mx+5-n\)的最大值不大於2的機率為何？
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(2013TRML團體賽，[url]https://math.pro/db/thread-1733-1-1.html[/url])
3.
設一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)定義如下：\(a_1=1\)，對於\(n \ge 2\)，\(a_n\)為\(n-a_k^2\)(\(1 \le k<n\))之中最小的正整數。例如：\(a_2=2-a_1^2=2-1=1\)，\(a_3=3-a_1^2=3-a_2^2=2\)，\(a_4\)為\(4-a_1^2\)、\(4-a_2^2\)、\(4-a_3^2\)之中最小的正整數，所以\(a_4=3\)，求\(a_{52}+a_{100}+a_{143}=\)？
設一數列\(\{\;a_n \}\;\)定義如下：\(a_1=1\)；對\(n\ge 2\)，\(a_n\)為\(n-a_k^2\)(\(1 \le k<n\))之中最小的正整數。例如，\(a_2=2-1^2=1\)，\(a_3=3-a_1^2=3-a_2^2=3-1=2\)，\(a_4\)為\(4-a_1^2=3\)、\(4-a_2^2=3\)、\(4-a_3^2=0\)之中最小的正整數，所以\(a_4=3\)。求\(a_{50}+a_{100}\)為[u] [/u]。
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(2015TRML個人賽，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2339&page=1#pid14091[/url])
4.
設\(Z\)為複數，在複數平面上，一個正六邊形依逆時針方向的連續三個頂點為\(Z\)、原點\(O\)、\(Z+5-2\sqrt{3}i\)(其中\(i=\sqrt{-1}\))，則\(Z=\)？
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(108指考數甲，[url]https://math.pro/db/thread-3173-1-1.html[/url])
四、
1.
\(\Delta ABC\)的各邊長均為正整數，且\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，設\(∠B\)與\(∠C\)的內角平分線交於\(I\)點，且\(\overline{CI}=8\)，則\(\Delta ABC\)周長的最小值為何？
三角形\(ABC\)的各邊邊長均為正整數，且\(\overline{AB}=\overline{AC}\)。設\(∠B\)與\(∠C\)的分角線交於\(I\)點，且\( \overline{BI}=10 \)，試求\( \Delta ABC \)最小可能的周長。
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(2015AIME，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2154&page=1#pid12773[/url])
3.
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，\(\displaystyle xf(x)=3x^4-2x^3+2x^2+\int_1^x f(t)dt\)對於\(x \ge 1\)恆成立，求(1)\(f'(x)\) (2)\(f(x)\)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(\displaystyle xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_1^x f(t)dt\)對\(x \ge 1\)恆成立。試回答下列問題。
(1)試求\(f(1)\)。
(2)試求\(f'(x)\)。
(3)試求\(f(x)\)。
(4)試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\displaystyle \int_0^a f(x)dx=1\)。
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(108指考數甲，[url]https://math.pro/db/thread-3173-1-1.html[/url]) 想請問一下第三大題的第1題該如何下手[attach]5557[/attach]
1.正三角形的三個頂點都在拋物線\(y=2x^2\)上，而且其中一邊所在的直線的斜率為2，這三個頂點的\(x\)坐標總和為\(\displaystyle \frac{m}{n}\)，其中\(m,n\)為互質的正整數，則\(m+n\)之值為何？ [quote]原帖由 [i]kyle12312[/i] 於 2020-6-20 18:09 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21531&ptid=3344][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問一下第三大題的第1題該如何下手5557 [/quote]
假設三個頂點分別為A(a,2a²) ,B(b,2b²) ,C(c,2c²)
其中c<a<b,且AB的斜率=2,AC的斜率=s,BC的斜率=t
則(2b²-2a²)/(b-a)=2 ,得2(a+b)=2-----------(1)
則 (s-2)/(1+2s)=tan60度=√3 ,s=(-5√3-8)/11 =2(a+c)----------(2)
則 (t-2)/(1+2t)=tan120度= -√3 ,t=(5√3-8)/11 =2(b+c)----------(3)
[(1)+(2)+(3)]/4 得a+b+c=3/22 =m/n ,
m=3,n=22,所求=m+n=3+22=25
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第三大題 第1題 另解 (線性轉換法,計算上比較繁瑣)[img]https://i.imgur.com/meuFGHD.png[/img]
[img]https://i.imgur.com/Ol9pWX3.png[/img] 謝謝你們的回覆，又學到一題 想請問第四大題第4題(2)
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第四大題 第4題 (2)[img]https://i.imgur.com/gIvrAKc.png[/img]
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