109全國高中職聯招
如附件 單選2.已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，其「偽陰率」為8%（即帶原者做檢驗有8%的機會呈陰性反應，其他呈陽性反應），而「偽陽率」為1% （即未帶原者做檢驗有1%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應）。某地區經快篩試劑篩檢後呈現陽性反應的民眾中有2% 為此病毒的帶原者，則此地區病毒的帶原者占全部人口的比例約為何？(A) 2% (B) 0.2% (C) 0.02% (D) 0.002% 。
已知某種快篩試劑對\(MERS\)病毒的檢驗，其「偽陰率」為9%(即帶原者做檢驗有9%的機會呈陰性反應，其他呈陽性反應)，而「偽陽率」為1%(即未帶原者做檢驗有1%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應)。在\(K\)國\(H\)醫院病患經快篩試劑篩檢後，發現真正受\(MERS\)病毒感染的比例為\(\displaystyle \frac{1}{11}\)，則此\(H\)醫院受此\(MERS\)病毒感染者占全部病患人口的比例為[u] [/u]。
(103高雄中學段考試題)
單選4.
三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為100，中圓的半徑為25，求最小圓的半徑為何？(A)\(\displaystyle \frac{100}{9}\) (B)\(\displaystyle \frac{10}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{36}{5}\) (D)\(\displaystyle \frac{18}{5}\)
[公式]
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{25}}\)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=819&page=1#pid1556[/url]
多選12.
設擲某銅板出現正面的機率為\(p\)，\(0<p<1\)。連續擲此銅板4次，若第\(k\)次出現則得\(\displaystyle \frac{1}{2^k}\)，否則得0，\(k=1,2,3,4\)。設總所得的期望值為\(a\)，總所得超過\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率為\(b\)，則(A)\(a\)為\(p\)的一次多項式 (B)\(\displaystyle \frac{15}{16}<a<1\) (C)\(b\)為\(p\)的二次多項式 (D)\(p<b<p+p^2\)
擲某銅板出現正面的機率為\(p\)，\(0<p<1\)。連續擲此銅板4次，若第\(k\)次出現正面則得\(\displaystyle \frac{1}{2^k}\)，否則得0，\(k=\)1、2、3、4。若總所得超過\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率為\(ap+bp^2+cp^3\)求\(a+b+c=\)[u] [/u]。
(100北港高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1192&page=3#pid4281[/url])
2.
\(\Delta ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)且\(\overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB}\)，已知\(∠ACD=\alpha,∠DCE=\beta,∠ECB=\gamma\)，則\(\displaystyle \frac{sin \alpha \cdot sin \gamma}{sin \beta}=\)[u] [/u]。
連結有解答
(100臺南二中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1101&page=1#pid3064[/url])
填充6.
方程式\(sinx-3cosx=k\)，在\(0\le x \le \pi\)的範圍內，有兩個相異的實數解，求實數\(k\)的範圍為[u] [/u]。
連結有解答
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2975&page=3#pid19272[/url]
填充9.
設甲袋中有2白球，乙袋中有3紅球，今每次自各袋中隨機取一球作交換，趨於穩定時，甲袋中有1白球1紅球之機率為[u] [/u]。
\(\displaystyle \frac{C_1^2 C_1^3}{C_2^5}=\frac{3}{5}\)
甲袋中有1黑球2白球，乙袋中有1白球1黑球，每球被取到之機會相同，從甲袋中取1球讓入乙袋，再從乙袋中取1球放回甲袋，此叫一回合。試求長期操作後，當達穩定狀態時，甲袋中為2黑1白球之機率為[u] [/u]。
(103新化高中，[url]https://math.pro/db/thread-2022-1-1.html[/url])
\(\displaystyle \frac{C_2^2 C_1^3}{C_3^5}=\frac{3}{10}\)
計算2.
將偶數數列\(S=\{\;2,4,6,\ldots,2n,\ldots \}\;\)排列為以下陣列，第\(i\)列第\(j\)行為\(a_{ij}\)，例如，\(a_{32}=18\)，試求一般項\(a_{ij}\)。
\(\matrix{&1&2&3&4&5&\ldots&j &行\cr
1&2&4&8&14&&&\cr
2&6&10&16&&&&\cr
3&12&18&&&&&\cr
4&20&&&&&&\cr
5&&&&&&&\cr
\vdots&&&&&&&\cr
i&&&&&&&a_{ij}\cr
列&&&&&&&}\)
[解答]
第2組數字2
第3組數字4,6
第4組數字8,10,12
第5組數字14,16,18,20
...
取每組開頭數字做差分
\(\matrix{&&&&第2組&&第3組&&第4組&&第5組\cr
4&&2&&2&&4&&8&&14\cr
&-2&&0&&2&&4&&6&\cr
&&2&&2&&2&&2&&}\)
第\(n\)組開頭數字\(=4\times C_0^n-2\times C_1^n+2\times C_2^n=n^2-3n+4\)
\(a_{ij}\)在第\(i+j\)組，開頭數字\((i+j)^2-3(i+j)+4\)在第1列
但\(a_{ij}\)在第\(i\)列再加上\(2(i-1)\)數字，\(a_{ij}=(i+j)^2-3(i+j)+4+2(i-1)=(i+j)^2-3(i+j)+2i+2\)
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \)[u] [/u]。
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … & \cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … & & \cr
10 & 14 & 19 & 25 & … & & & \cr
15 & 20 & 26 & … & & & & \cr
21 & 27 & … & & & & & \cr
28 & … & & & & & & } \)
(103彰化高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1890&page=1#pid10505[/url])
計算3.
有一個底半徑為5公分的圓柱體，被一個通過直徑\(AB\)且與底面夾\(45^{\circ}\)角的平面所截，試求所截出的立體體積。
公式：\(\displaystyle \frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011[/url] 想請教計算第一題
回復 3# royan0837 的帖子
計算第1題\(\begin{align}
& y=\frac{x-1}{2x+3} \\
& x=\frac{3y+1}{1-2y} \\
\end{align}\)
代回原方程
回復 4# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師計算一算完答案是 \(19x^3+69x^2-2x-3=0\)
計算二 \(a_{ij}=i(i+2j-1)+(j-1)(j-2)\)
計算三 \(\frac{250}{3}\)
提供給其他老師參考。
[[i] 本帖最後由 royan0837 於 2020-6-6 20:01 編輯 [/i]]
回復 5# royan0837 的帖子
計算二：對於任何格子裡的數 \( a_{i j} \) 都可以用\( k =i+j \) 來分組
像是 \( a_{i j} \) 屬於 \( k =i+j \) 組，而此組內的數由小(右上)到大(左下)排列依序為：
\( 2(1+2+3+...+(i+j-2))+2, 2(1+2+3+...+(i+j-2))+4, ..., 2(1+2+3+...+(i+j-2))+2(i+j-1) \)
因為 \( a_{i j} \) 是屬於此組的第\( i \)個，故
\( a_{i j} = 2(1+2+...+(i+j-2))+ 2i =(i+j-2)(i+j-1) +2i \)
經整理後也可以得到樓上老師的答案
回復 4# thepiano 的帖子
我用另外一個方法求，多繞了比較多路，考試還是計算錯誤了....\( \displaystyle\frac{\alpha-1}{2\alpha+3}=\frac{\alpha-1}{2(\alpha-1)+5} \)
所以想先找 \(2+\displaystyle\frac{5}{\alpha-1}\)的方程式再倒根回來
我先平移對\(x=1\)展開，然後伸縮變\(\frac{1}{5}\)，再來倒根一次，平移對\(x=-2\)展開，再倒根一次
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2020-6-6 22:18 編輯 [/i]] 請問填充7怎麼算呢？
我怎麼一直算出來是3/5（答案是給4/5）
謝謝
回復 8# r95221013 的帖子
填充第 7 題1 - (白球數一路領先紅球數的機率) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2020-6-6 22:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21392&ptid=3342][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 7 題
1 - (白球數一路領先紅球數的機率) [/quote]
謝謝，不小心算錯了XD
[[i] 本帖最後由 r95221013 於 2020-6-7 01:51 編輯 [/i]] 各位先進
單選3的(D)選項
是否有誤呢？ [quote]原帖由 [i]c711211[/i] 於 2020-6-8 13:15 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21407&ptid=3342][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
單選3的(D)選項
是否有誤呢？ [/quote]
看起來沒有問題
回復 12# thepiano 的帖子
如果用水平線來看，也是遞增，但是R_2 = R_4 不是小於爭議應該是遞增跟嚴格遞增上
回復 1# Superconan 的帖子
請教單選1. [quote]原帖由 [i]nanpolend[/i] 於 2020-6-9 10:21 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21419&ptid=3342][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教單選1. [/quote]
我考場內是這麼做，有錯還請不吝指教。
回復 14# nanpolend 的帖子
單選第1題\(\begin{align}
& {{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{7}}>0 \\
& {{a}_{8}},{{a}_{9}},\cdots <0 \\
& \left| {{a}_{7}} \right|<\left| {{a}_{8}} \right| \\
& \left| {{a}_{6}} \right|<\left| {{a}_{9}} \right| \\
& \left| {{a}_{5}} \right|<\left| {{a}_{10}} \right| \\
& \left| {{a}_{4}} \right|<\left| {{a}_{11}} \right| \\
& \left| {{a}_{3}} \right|<\left| {{a}_{12}} \right| \\
& \left| {{a}_{2}} \right|<\left| {{a}_{13}} \right| \\
& \left| {{a}_{1}} \right|<\left| {{a}_{14}} \right| \\
\end{align}\)
\(n\ge 14\)時，\({{S}_{n}}<0\)，\(n\)之最大值13 不好意思
想請教填充第四題
我是用面積的想法算
但是計算量好多最後一直寫不出來
請問有更好的方法嗎？
謝謝您們
回復 17# coco0128 的帖子
填充第 4 題先算出 AC，再算出 cos∠BAC 和 cos∠DAC
最後用和角和餘弦求 BD
若您數感不錯，有看出\({{\overline{AB}}^{2}}+{{\overline{CD}}^{2}}={{\overline{BC}}^{2}}+{{\overline{DA}}^{2}}\)，就更簡單了
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-9 15:37 編輯 [/i]]
回復 18# thepiano 的帖子
請問看出這個式子有何用處，謝謝~~回復 18# thepiano 的帖子
懂了！這樣對角線是互相垂直的
謝謝您