109中壢高中代理
109中壢高中代理 6.將5個\(A\)、5個\(B\)和5個\(C\)等15 個字母排成一列，使得前5個字母中沒有\(A\)，中間5個字母中沒有\(B\)，在最後5個字母中沒有\(C\)，試求：有[u] [/u]種排列方式。
連結有解答
[url]https://math.pro/db/thread-454-1-1.html[/url]
10.
設\(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\)，\(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+1\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之3根。試求：\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}\)之值為[u] [/u]。
連結有解答
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652[/url]
12.
設\(x,y\)為任意實數，則\((x-2cosy)^2+(3x^2+8-2siny)^2\)的最小值為[u] [/u]。
設\(x,y\)為任意實數，則\((x-2cosy)^2+(3x^2+9-2siny)^2\)的最小值為[u] [/u]。
(94全國高中數學能力競賽 新竹區)
20.
平面上，由圖形\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2\le 1\)、\(\displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{3}}{2}+1)x\)、\(\displaystyle y+1\ge -(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)x\)所圍成區域之面積為[u] [/u]。
(109興大附中，[url]https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html[/url]) 各位先進，填充第18題，我算的跟答案不同，請教是那些地方有誤，謝謝。
[img]https://i.imgur.com/PdvmRJE.jpg[/img]
[[i] 本帖最後由 happysad 於 2020-6-13 20:55 編輯 [/i]]
回復 3# happysad 的帖子
倒數第三行開始有誤，應是\(\begin{align}
& {{k}_{2}}=1\ ,\ 1853\le {{k}_{1}}\le 2020 \\
& : \\
& : \\
& {{k}_{2}}=167\ ,\ 2019\le {{k}_{1}}\le 2186 \\
\end{align}\) thepiano 大大您好，謝謝您您的指正。不過想再請教您，我在假設k_1 跟 k_2 時 有 0<= k_2<k_1<= 2019 的範圍限制(我文章剛開始的時候寫反了 @@") 那 k_1 的值可以算到2186嗎?
[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2020-6-14 07:58 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21463&ptid=3339][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
倒數第三行開始有誤，應是
\(\begin{align}
& {{k}_{2}}=1\ ,\ 1853\le {{k}_{1}}\le 2020 \\
& : \\
& : \\
& {{k}_{2}}=167\ ,\ 2019\le {{k}_{1}}\le 2186 \\
\end{align}\) [/quote]
回復 5# happysad 的帖子
您取 166 和 167 時，會有一個很小的銳角和另一個很接近 360 度的角，都符合題意 在本文倒數第三行的部分， 若k_2=2，則1854<=k_1<=2021 。倘或取k_1=2021 則這種選法 跟第一部分的 k_1=2，k_2=1 是相同的，因此會重複。請問這樣想是否正確?[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2020-6-14 11:30 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21466&ptid=3339][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
您取 166 和 167 時，會有一個很小的銳角和另一個很接近 360 度的角，都符合題意 [/quote]
回復 7# happysad 的帖子
您沒算到的部份\(\begin{align}
& {{k}_{2}}=1852\quad ,\quad 1853\le {{k}_{1}}\le 2019 \\
& {{k}_{2}}=1853\quad ,\quad 1854\le {{k}_{1}}\le 2019 \\
& : \\
& : \\
& {{k}_{2}}=2017\quad ,\quad 2018\le {{k}_{1}}\le 2019 \\
& {{k}_{2}}=2018\quad ,\quad {{k}_{1}}=2019 \\
\end{align}\)
回復 7# happysad 的帖子
小弟是這樣算的當您選定2020個點中的某一點
往前有168個點可選，往後也有168個點可選
由於每兩點會重複算一次
故全部有\(168\times 2\times 2020\times \frac{1}{2}=339360\)組選法 感謝thepiano大大的指教~~~
[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2020-6-15 05:08 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21479&ptid=3339][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
小弟是這樣算的
當您選定2020個點中的某一點
往前有168個點可選，往後也有168個點可選
由於每兩點會重複算一次
故全部有\(168\times 2\times 2020\times \frac{1}{2}=339360\)組選法 ... [/quote]
請教老師11題
請問老師第11題,訂完座標後,算出來的 h居然是複數根麻煩老師指點迷津
回復 11# anyway13 的帖子
填11.平面的法向量不只一個
兩平面的夾角也不只一個
所以您算出來的 \( \vec{n_1}, \vec{n_2} \) 的夾角不一定是 \( \beta \) 也可能是它的補角
回復 12# 寸絲 的帖子
謝謝寸絲老師,知道哪裡出毛病了請教第19題
請問版上老師第19題要怎模做啊完全沒有頭緒
回復 14# anyway13 的帖子
第19題\(\begin{align}
& \frac{3}{2!}-\frac{4}{3!}+\frac{5}{4!}-\frac{6}{5!}+\frac{7}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{n+2}{\left( n+1 \right)!} \\
& =\left[ \frac{2}{2!}-\frac{3}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{5}{5!}+\frac{6}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{n+1}{\left( n+1 \right)!} \right]+\left[ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{\left( n+1 \right)!} \right] \\
& =\left[ 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{n!} \right]+\left[ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{\left( n+1 \right)!} \right] \\
& =1 \\
\end{align}\)
回復 15# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師,想不到阿真是太神奇了
回復 1# ycl1280 的帖子
請教第二題用隸美弗
八個點都算得出來而P點夾角60度
真的得相減得8個線段？
回復 17# nanpolend 的帖子
第2題，題目不是要求八個「向量的長度」之和，
而是要求「八個向量之和」的長度。
設圓心為O，則
PA1向量 + PA2向量 + ... + PA8向量
= (PO向量 + OA1向量) + (PO向量 + OA2向量) + ... + (PO向量 + OA8向量)
= 8 (PO向量)
得 所求 = | 8(PO向量) | = 8.
請教第九題
請問老師們第9題能夠怎麼下手呢？對於三角函數結合幾何性質實在是很不擅長。
用了正弦定理以及三角和180找到兩種alpha beta的關係，
4sin(beta)=cos(alpha/2)；alpha=90度+beta/2
有試著把兩條全部變成半角的方程式但實在太醜
不知道是不是想得太複雜 [quote]原帖由 [i]L.Y.[/i] 於 2021-6-13 14:10 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23035&ptid=3339][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老師們第9題能夠怎麼下手呢？
對於三角函數結合幾何性質實在是很不擅長。
用了正弦定理以及三角和180找到兩種alpha beta的關係，
4sin(beta)=cos(alpha/2)；alpha=90度+beta/2
有試著把兩條全部變成半角的方程式但實在 ... [/quote]
這題是有設計過的,令AC=x
在△ABC中,由餘弦定理得x² =4² + 4² -2*4*4*cosα =32(1-cosα)-----------(1)
在△ACE中,由餘弦定理得1² =x² + x² -2*x*x*cosβ =2x²(1-cosβ )------------(2)
將(1)代入(2)得 1=64(1-cosα)(1-cosβ) ,所以(1-cosα)(1-cosβ)=1/64
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