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人沒有天生的窮命和賤命,
只有你是用什麼樣的心態來磨練自己。

bugmens 發表於 2020-5-31 09:51

109高雄市高中聯招

 

bugmens 發表於 2020-5-31 09:51

5.
求\(\displaystyle \left[\frac{1}{3} \right]+\left[\frac{2}{3} \right]+\left[\frac{2^2}{3} \right]+\ldots+\left[\frac{2^{100}}{3} \right]\)之值,其中\(\left[a\right]\)表示不超過\(a\)的最大整數。
連結有解答
2000TRML個人賽,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268[/url]

6.
若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=2\),則\(a+b+c=\)?

若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1\),則\(a+b+c=\)?
(1)18 (2)24 (3)27 (4)30
(96苗栗縣國中聯招)
這裡有更多類似問題,[url]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url]

8.
求兩曲線\(y=x^3-3x+1,y=x^3-3x+33\)的公切線方程式?

\(y=x^3-3x\),\(y=x^3-3x+32\),求兩曲線的公切線方程式?
連結有解答,[url]https://math.pro/db/thread-1561-1-1.html[/url]

10.
一個盛滿水的半球形容器,將此半球形容器傾角\(\theta\),使容器內的水恰好倒掉全部的\(\displaystyle \frac{23}{27}\),求\(sin \theta=\)?

在直徑12公分的半球形容器內裝滿水,將此容器傾斜\( 30^o \),求流出去的水量為多少立方公分?
99高雄市高中聯招,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=1#pid2273[/url]

11.
已知\(2^x+3^y+5^z=7\),\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\);若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\),試求\(t\)的範圍?

已知\(x,y,z\)均為實數,且\(\cases{2^x+3^y+5^z=7 \cr 2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11}\),若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z-1}\),試求\(t\)的範圍。
連結有解答
98高雄市高中聯招,[url]https://math.pro/db/thread-797-1-1.html[/url]

14.
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
連結有解答
104高雄市高中聯招,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=2#pid13723[/url]

Ellipse 發表於 2020-5-31 10:29

[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2020-5-31 09:51 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21313&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
  [/quote]
#5
2000TRML,99基隆高中(數據一模一樣)

#7
2014TRML

#6
96苗栗縣國中,之後陸續也考過很多次 (這題數據幾乎都跟96苗栗縣國中(最後等於1)一樣)

#11
98年高市聯招,計算5  (出題老師還真懶,數據幾乎都一樣,只有最後改成5^(z+1) )

koeagle 發表於 2020-5-31 19:03

想請教證明第1題 (題號13),謝謝。

Ellipse 發表於 2020-5-31 19:50

[quote]原帖由 [i]koeagle[/i] 於 2020-5-31 19:03 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21320&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教證明第1題 (題號13),謝謝。 [/quote]
(ab+bc+ca)²=(ab)²+(bc)²+(ca)²+2abc(a+b+c)-----------(*1)
依題意僅須證明(ab)²+(bc)²+(ca)²>=abc(a+b+c)
由柯西不等式知:
[(ab)²+(bc)²+(ca)²][(ca)²+(ab)²+(bc)²]>=[a²bc+ab²c+abc²]²
=>  (ab)²+(bc)²+(ca)²>=a²bc+ab²c+abc²=abc(a+b+c)---------(*2)
由(*1)&(*2)可得證

koeagle 發表於 2020-5-31 19:58

回復 5# Ellipse 的帖子

謝謝 Ellipse 老師。

jasonmv6124 發表於 2020-5-31 20:33

請問填充第一題有除了假設一般式的方法嗎?

Ellipse 發表於 2020-5-31 20:45

[quote]原帖由 [i]jasonmv6124[/i] 於 2020-5-31 20:33 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21325&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充第一題有除了假設一般式的方法嗎? [/quote]
假設f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x+b)+(2x-1)----------(*)
f(0)= -217 ,解得b= -9 代回(*)
所求f(5)= -87

jasonmv6124 發表於 2020-5-31 20:52

回復 8# Ellipse 的帖子

謝謝你 我用的方法太複雜了

dream10 發表於 2020-6-1 09:32

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2020-5-31 10:29 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21315&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

#5
2000TRML,99基隆高中(數據一模一樣)

#6
96苗栗縣國中,之後陸續也考過很多次 (這題數據幾乎都跟96苗栗縣國中(最後等於1)一樣)

#11
98年高市聯招,計算5  (出題老師還真懶,數據幾乎都一樣,只有最後改成5^(z+1) ) ... [/quote]

應該說做考古題很有用~~~哈哈

yi4012 發表於 2020-6-1 11:26

第3題也是考古題,只要把X=i帶入算實部就可以了

第4題是104全國聯招填充第3題

5pn3gp6 發表於 2020-6-1 14:28

[quote]原帖由 [i]yi4012[/i] 於 2020-6-1 11:26 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21345&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題也是考古題,只要把X=i帶入算實部就可以了

第4題是104全國聯招填充第3題 [/quote]

帶入x=i 的應該是第3題

另外這次的第6題
跟 107新北聯的第1題也是類似的
[url]https://math.pro/db/thread-2971-2-1.html[/url]

HC3064 發表於 2020-6-1 15:50

想請教版上老師填充第九題,謝謝。

koeagle 發表於 2020-6-1 16:24

回復 13# HC3064 的帖子

第9題,可視為二項分布 \( \displaystyle X \sim Bin \left( 12 , \frac{1}{4} \right) \)

\( \displaystyle E(X) = np = 3  ,  Var(X) = np(1-p) = \frac{9}{4}  ,  E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \frac{45}{4} \)

所求:\( \displaystyle E(X^2 + 2X) =  \frac{45}{4} + 2 \times 3 = \frac{69}{4}  \)

jerryborg123 發表於 2020-6-1 16:41

回復 13# HC3064 的帖子

仿照二項分配證明期望值=np的方法,獎金中k的部分可以消掉,再把k+2看成k-1+3做第二次

可惜我不熟練,考試時來不及把這題寫完

HC3064 發表於 2020-6-1 18:10

感謝以上兩位老師,受教了。

5pn3gp6 發表於 2020-6-1 23:21

[quote]原帖由 [i]HC3064[/i] 於 2020-6-1 15:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21351&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教版上老師填充第九題,謝謝。 [/quote]

依題意 所求為
\(\displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{12-k} k(k+2)=\frac{1}{4^{12}}\left( \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2+ 2\sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \right) \)

其中 
\( \displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \)
我把它想成 「從12人挑k人不參加運動比賽,其他(12-k)個人從三個項目中選擇其中一種;另外再從不參加的k個人中,挑1人來擔任領隊」
 
所以將k=0~k=12 的情形連加起來後,就可以得到
「12人中先挑一人擔任領隊(不參加比賽),其餘11人可以參加比賽(三選一)或不參加比賽。」
即是 \( \displaystyle 12\times 4^{11} \)
 
同理,\( \displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2 = 12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10} \) (不參加的人要有人擔任領隊與經理,可同一人擔任)
 
所以所求為 \(\displaystyle \frac{1}{4^{12}}\left((12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10})+2(12\times4^{11})\right)=\frac{4^{11}\left((12+3\times 11)+2\times(12)\right)}{4^{12}} =\frac{69}{4}\)

zidanesquall 發表於 2020-6-2 14:01

想請教第七題

ycl1280 發表於 2020-6-2 14:15

回復 18# zidanesquall 的帖子

第七題:我的做法是利用線性變換的特性來求面積
作法如下

zidanesquall 發表於 2020-6-2 14:43

回復 19# ycl1280 的帖子

謝謝~~我懂了!

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