109高雄市高中聯招
5.求\(\displaystyle \left[\frac{1}{3} \right]+\left[\frac{2}{3} \right]+\left[\frac{2^2}{3} \right]+\ldots+\left[\frac{2^{100}}{3} \right]\)之值，其中\(\left[a\right]\)表示不超過\(a\)的最大整數。
連結有解答
2000TRML個人賽，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268[/url]
6.
若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=2\)，則\(a+b+c=\)？
若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1\)，則\(a+b+c=\)？
(1)18 (2)24 (3)27 (4)30
(96苗栗縣國中聯招)
這裡有更多類似問題，[url]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url]
8.
求兩曲線\(y=x^3-3x+1,y=x^3-3x+33\)的公切線方程式？
\(y=x^3-3x\),\(y=x^3-3x+32\)，求兩曲線的公切線方程式？
連結有解答，[url]https://math.pro/db/thread-1561-1-1.html[/url]
10.
一個盛滿水的半球形容器，將此半球形容器傾角\(\theta\)，使容器內的水恰好倒掉全部的\(\displaystyle \frac{23}{27}\)，求\(sin \theta=\)？
在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？
99高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=1#pid2273[/url]
11.
已知\(2^x+3^y+5^z=7\)，\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\)；若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\)，試求\(t\)的範圍？
已知\(x,y,z\)均為實數，且\(\cases{2^x+3^y+5^z=7 \cr 2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11}\)，若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z-1}\)，試求\(t\)的範圍。
連結有解答
98高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-797-1-1.html[/url]
14.
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
連結有解答
104高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=2#pid13723[/url] [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2020-5-31 09:51 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21313&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
#5
2000TRML,99基隆高中(數據一模一樣)
#7
2014TRML
#6
96苗栗縣國中,之後陸續也考過很多次 (這題數據幾乎都跟96苗栗縣國中(最後等於1)一樣)
#11
98年高市聯招,計算5 (出題老師還真懶,數據幾乎都一樣,只有最後改成5^(z+1) ) 想請教證明第1題 (題號13)，謝謝。 [quote]原帖由 [i]koeagle[/i] 於 2020-5-31 19:03 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21320&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教證明第1題 (題號13)，謝謝。 [/quote]
(ab+bc+ca)²=(ab)²+(bc)²+(ca)²+2abc(a+b+c)-----------(*1)
依題意僅須證明(ab)²+(bc)²+(ca)²>=abc(a+b+c)
由柯西不等式知:
[(ab)²+(bc)²+(ca)²][(ca)²+(ab)²+(bc)²]>=[a²bc+ab²c+abc²]²
=> (ab)²+(bc)²+(ca)²>=a²bc+ab²c+abc²=abc(a+b+c)---------(*2)
由(*1)&(*2)可得證
回復 5# Ellipse 的帖子
謝謝 Ellipse 老師。 請問填充第一題有除了假設一般式的方法嗎? [quote]原帖由 [i]jasonmv6124[/i] 於 2020-5-31 20:33 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21325&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問填充第一題有除了假設一般式的方法嗎? [/quote]
假設f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x+b)+(2x-1)----------(*)
f(0)= -217 ,解得b= -9 代回(*)
所求f(5)= -87
回復 8# Ellipse 的帖子
謝謝你 我用的方法太複雜了 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2020-5-31 10:29 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21315&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]#5
2000TRML,99基隆高中(數據一模一樣)
#6
96苗栗縣國中,之後陸續也考過很多次 (這題數據幾乎都跟96苗栗縣國中(最後等於1)一樣)
#11
98年高市聯招,計算5 (出題老師還真懶,數據幾乎都一樣,只有最後改成5^(z+1) ) ... [/quote]
應該說做考古題很有用~~~哈哈 第3題也是考古題，只要把X=i帶入算實部就可以了
第4題是104全國聯招填充第3題 [quote]原帖由 [i]yi4012[/i] 於 2020-6-1 11:26 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21345&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題也是考古題，只要把X=i帶入算實部就可以了
第4題是104全國聯招填充第3題 [/quote]
帶入x=i 的應該是第3題
另外這次的第6題
跟 107新北聯的第1題也是類似的
[url]https://math.pro/db/thread-2971-2-1.html[/url] 想請教版上老師填充第九題，謝謝。
回復 13# HC3064 的帖子
第9題，可視為二項分布 \( \displaystyle X \sim Bin \left( 12 , \frac{1}{4} \right) \)\( \displaystyle E(X) = np = 3 , Var(X) = np(1-p) = \frac{9}{4} , E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \frac{45}{4} \)
所求：\( \displaystyle E(X^2 + 2X) = \frac{45}{4} + 2 \times 3 = \frac{69}{4} \)
回復 13# HC3064 的帖子
仿照二項分配證明期望值=np的方法，獎金中k的部分可以消掉，再把k+2看成k-1+3做第二次可惜我不熟練，考試時來不及把這題寫完 感謝以上兩位老師，受教了。 [quote]原帖由 [i]HC3064[/i] 於 2020-6-1 15:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21351&ptid=3338][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教版上老師填充第九題，謝謝。 [/quote]
依題意 所求為
\(\displaystyle \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{12-k} k(k+2)=\frac{1}{4^{12}}\left( \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2+ 2\sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \right) \)
其中
\( \displaystyle \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \)
我把它想成 「從12人挑k人不參加運動比賽，其他(12-k)個人從三個項目中選擇其中一種；另外再從不參加的k個人中，挑1人來擔任領隊」
所以將k=0~k=12 的情形連加起來後，就可以得到
「12人中先挑一人擔任領隊(不參加比賽)，其餘11人可以參加比賽(三選一)或不參加比賽。」
即是 \( \displaystyle 12\times 4^{11} \)
同理，\( \displaystyle \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2 = 12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10} \) (不參加的人要有人擔任領隊與經理，可同一人擔任)
所以所求為 \(\displaystyle \frac{1}{4^{12}}\left((12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10})+2(12\times4^{11})\right)=\frac{4^{11}\left((12+3\times 11)+2\times(12)\right)}{4^{12}} =\frac{69}{4}\) 想請教第七題
回復 18# zidanesquall 的帖子
第七題：我的做法是利用線性變換的特性來求面積作法如下
回復 19# ycl1280 的帖子
謝謝～～我懂了！頁:
[1]
2