回復 40# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師乾淨俐落!
計算
3. [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2020-6-4 19:00 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21379&ptid=3336][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]謝謝鋼琴老師
乾淨俐落! [/quote]
想請問各位老師
[attach]5775[/attach]
怎麼知道如果要收斂，則an就得在正負1之間呢? 謝謝
回復 43# plpl69541 的帖子
一個數要介於 -1 和 1 之間，它平方後才會愈來愈小 謝謝鋼琴老師原本糾結是後面有3/2
所以是不會影響的嗎？
感謝各位老師幫忙，謝謝。 計算1(a)
令 \( f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 \)，則 \( a_{n+1}=f(a_{n}) \)
我們先分析三點數列的行為
(1) \( \{a_{n}\} \) 為遞增數列(單調遞增)：\( f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) \) 恆成立，且等號僅在 \( x=2 \) 時發生。
(2)若 \( 0\leq x\leq2 \)，\( f(x)-2=\frac{1}{2}x(x-2)\leq0 \Rightarrow0\leq x\leq f(x)\leq2 \)。
(3)若 \( \{a_{n}\} \) 收斂於 \( a \)，則 \( a=f(a) \Rightarrow a=2 \)。
當 \( a_{1}>2 \) 時，則 \( a_{n}\geq a_{1}>2 \)，故 \( \{a_{n}\} \) 發散(不能收斂於2，再由(3)得發散) 。
當 \( a_{1}<0 \) 時，則 \( a_{2}=f(a_{1})=f(2-a_{1})\geq2-a_{1}>2 \Rightarrow a_{n+1}\geq a_{2}>2 \)，故 \( \{a_{n}\} \) 發散。
當 \( 0\leq a_{1}\leq2 \) 時，\( \{a_{n}\} \) 為遞增數列且有上界 2，故 \( \{a_{n}\} \) 收斂於 2。 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2021-3-3 17:59 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=22228&ptid=3336][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算1(a)
令 \( f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 \)，則 \( a_{n+1}=f(a_{n}) \)
我們先分析三點數列的行為
(1) \( \{a_{n}\} \) 為遞增數列(單調遞增)：\( f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) \) 恆 ... [/quote]
謝謝寸絲老師及鋼琴老師！感恩