92高中數學能力競賽
想請教各位老師們如何證明[問題四]：令\(Q^{+}\)表正有理數集，\(N\)表自然數集，定義\(f\)：\(N \to Q^{+}\)如下：
\(\displaystyle f(1)=1,f(2n)=f(n)+1,f(2n+1)=\frac{1}{f(2n)}\)。
(a)求證若\(f(x)=f(y)\)則\(x=y\)。
(b)求證對任意\(q \in Q^{+}\)必存在一個自然數\(n\)，使得\(f(n)=q\)。
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(a) 首先我們看到 \( x,y \) 的奇偶性必相同，理由如下：若 \( z \) 為正偶數，則 \( f(z) = f(\frac z2) + 1 > 1 \)
當 \( z = 1 \) 時，\( f(z) = 1 \)
若 \( z \) 為大於 1 的正奇數，則 \( f(z) = \frac 1{f(z-1)} <1 \)
將命題" 若 \( f(x)=f(y) \) 且 \( x,y\leq m \)，則 \( x=y \)" 對 \( m\in \mathbb N \) 作數學歸納法
(1) 當 \( m=1 \) 時，
設 \( f(x)=f(y) \) 且 \( x,y\leq 1 \)，則 \( x=1, y=1\)，故 \( x=y \)，命題成立
(2) 設 \( m = M \) 時，命題成立
(3) 則當 \( m = M+1 \) 時，設 \( f(x)=f(y) \) 且 \( x,y\leq M+1 \)，
則 \( x,y \) 同奇偶
若 \( x,y \) 均為偶數 則 \( f(\frac x2) = f(x) -1 = f(y) - 1 = f(\frac y2) \)
而 \( \frac x2, \frac y2 \leq M \)，由歸納法假設得 \( \frac x2 = \frac y2 \)，因此 \( x=y \)
若 \( x,y \) 均為奇數 則 \( f(x-1) = \frac 1{f(x)} = \frac 1{f(y)} = f(y-1) \)
而 \( x-1, y-1 \leq M \)，由歸納法假設得 \( x-1 = y-1 \)，因此 \( x=y \)
故由數學歸納法得 \( m \) 為任意正整數時，命題均成立，即 " 若 \( f(x)=f(y) \)，則 \( x=y \)"
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(b) 也是數學歸納法，把 \( q \) 寫作 \( q = \frac ba \)設 \( a + b \leq m \)，對 \( m \) 作數學歸納法
過程基本上同 (a)，也是利用遞迴關係式去找另一個分子分母和比較小的情況，找到後，再乘2或 乘 2加1，就可以了
舉例來說，\( q= \frac 25 \) ，利用歸納法假設去找 \( x \) 滿足 \( f(x) = \frac{5-2}{2} \)，則 \( f(2x+1) = \frac 1{f(2x)} = \frac 25 \) 謝謝，再來研究一下
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