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當你永遠都用自己的角度看事情時,
你是失焦的,永遠看不到真相。

chupapa 發表於 2020-5-21 11:03

92高中數學能力競賽

想請教各位老師們如何證明

[問題四]:令\(Q^{+}\)表正有理數集,\(N\)表自然數集,定義\(f\):\(N \to Q^{+}\)如下:
\(\displaystyle f(1)=1,f(2n)=f(n)+1,f(2n+1)=\frac{1}{f(2n)}\)。
(a)求證若\(f(x)=f(y)\)則\(x=y\)。
(b)求證對任意\(q \in Q^{+}\)必存在一個自然數\(n\),使得\(f(n)=q\)。

tsusy 發表於 2020-5-23 10:38

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(a) 首先我們看到 \( x,y \) 的奇偶性必相同,理由如下:
若 \( z \) 為正偶數,則 \( f(z) = f(\frac z2) + 1 > 1 \)
當 \( z = 1 \) 時,\( f(z) = 1 \)
若 \( z \) 為大於 1 的正奇數,則 \( f(z) = \frac 1{f(z-1)} <1 \)

將命題" 若 \( f(x)=f(y) \) 且 \( x,y\leq m \),則 \( x=y \)" 對 \( m\in \mathbb N \) 作數學歸納法
(1) 當 \( m=1 \) 時,
     設 \( f(x)=f(y) \) 且 \( x,y\leq 1 \),則 \( x=1, y=1\),故 \( x=y \),命題成立
(2) 設 \( m = M \) 時,命題成立
(3) 則當 \( m = M+1 \) 時,設 \( f(x)=f(y) \) 且 \( x,y\leq M+1 \),
      則 \( x,y \) 同奇偶
      若 \( x,y \) 均為偶數 則 \( f(\frac x2) = f(x) -1 = f(y) - 1 = f(\frac y2) \)
                                   而 \( \frac x2, \frac y2 \leq M \),由歸納法假設得 \( \frac x2 = \frac y2 \),因此 \( x=y \)
      若 \( x,y \) 均為奇數 則 \( f(x-1) = \frac 1{f(x)} = \frac 1{f(y)} = f(y-1) \)
                                   而 \( x-1, y-1 \leq M \),由歸納法假設得 \( x-1 = y-1 \),因此 \( x=y \)
故由數學歸納法得 \( m \) 為任意正整數時,命題均成立,即 " 若 \( f(x)=f(y) \),則 \( x=y \)"

tsusy 發表於 2020-5-23 10:44

回復 1# chupapa 的帖子

(b) 也是數學歸納法,把 \( q \) 寫作 \( q = \frac ba \)
設 \( a + b \leq m \),對 \( m \) 作數學歸納法
過程基本上同 (a),也是利用遞迴關係式去找另一個分子分母和比較小的情況,找到後,再乘2或 乘 2加1,就可以了

舉例來說,\( q= \frac 25 \) ,利用歸納法假設去找 \( x \) 滿足 \( f(x) = \frac{5-2}{2} \),則 \( f(2x+1) = \frac 1{f(2x)} = \frac 25 \)

chupapa 發表於 2020-5-25 09:13

謝謝,再來研究一下

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