109北科附工
感謝大家幫忙回憶，如果試題有誤可以再跟我說～補充試題
想請教 6, 7回復 2# royan0837 的帖子
個人覺得第七題敘述的不是很好畫完草稿的時候有疑惑了一下 後來感覺題意應該是這個意思。 #7 是科展的題目,101雄中模考也有出現過
回復 4# Ellipse 的帖子
感覺「由上到下畫出三條水平線」或「由左到右畫出三條鉛直線」似乎比較合理？ [quote]原帖由 [i]mathman[/i] 於 2020-5-16 15:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21206&ptid=3326][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]感覺「由上到下畫出三條水平線」或「由左到右畫出三條鉛直線」似乎比較合理？ [/quote]
國文解讀的問題, 就是"三條水平線"或"三條鉛直線"
之前的題目是出"三條水平線".
有附圖會比較好
回復 4# Ellipse 的帖子
請問是哪一年科展題目？101雄中模考網路上是否能找到檔案？ (100政大附中國中部)[url]https://math.pro/db/thread-1121-1-4.html[/url]
109.5.17版主補充
這裡可以下載科展資料
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6230[/url] 沒注意到跟二樓重複了
二樓已經有把其他題目打出了
感謝
回復 9# zidanesquall 的帖子
第一題在考場只想到這樣做...第八題考古題來自104木柵高工2
另外想請教計算兩題
回復 10# abc409212000 的帖子
我第一題也是這樣硬幹...本來想用數列的一般項去找，不過感覺更麻煩
回復 11# zidanesquall 的帖子
我也是如此，都列到第50…項時，都感覺快要懷疑人生，最後在第59和60項時，終於…覺得太機車了。
個人認為很多人都會窮舉列出來，但是有些會半途棄車。
回復 10# abc409212000 的帖子
我也是列出但列到第16項、第17之後
發現相同數字出現且是7的倍數
後面就可以省略了
有前15的規律+7的冪次規律
就很快結束了～
（不放心當然可以列完） 計算2
若\(a\)是一個有理數且滿足\(\displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 4+\root 3 \of 2+a}=\alpha \root 3 \of 4+\beta \root 3 \of 2+\gamma\)，其中\(\alpha,\beta,\gamma\)為有理數。試求\(\alpha,\beta,\gamma\)(用\(a\)表示)
[解答]
用乘法公式解決
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(\displaystyle \frac{\root 3 \of{16}+\root 3 \of{4}+a^2-\root 3 \of{4}a-\root 3 \of{2}a-2}{(\root 3 \of{4}+\root 3 \of{2}+a)(\root 3 \of{16}+\root 3 \of{4}+a^2-\root 3 \of{4}a-\root 3 \of{2}a-2)}=\frac{\root 3 \of{4}(1-a)+\root 3 \of{2}(2-a)+(a^2-2)}{(\root 3 \of{4})^3+(\root 3 \of{2})^3+a^3-3 \cdot \root 3 \of{4}\cdot \root 3 \of{2}\cdot a}=\alpha \root 3 \of{4}+\beta \root 3 \of{2}+\gamma\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{1-a}{a^3-6a+6},\beta=\frac{2-a}{a^3-6a+6},\gamma=\frac{a^2-2}{a^3-6a+6}\)
110.2.25補充
更多三次根號化簡的題目，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840[/url]
請教計算ㄧ
如果\(p,q,r\)是三個相異的質數且滿足\(\cases{(p-1)|\;(pqr-1)\cr (q-1)|\;(pqr-1)\cr (r-1)|\;(pqr-1)}\)則稱合成數\(pqr\)為卡邁克爾數。試確定所有\(r=3\)的卡邁克爾數。
版上老師好
有關邁克爾數這題只找到561=3*11*17
在r=3時,要怎麼確認只有這一種可能呢?
1.
考慮 mod 5.....1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,
4,4,3,2,0,2,2,4,1,0
每20 個 一循環 , 2020剛好是20 倍數 ,故取倒數三個 014
再看奇偶性 a1=奇,a2=奇,a3=偶, a4=奇,a5=奇,a6=偶
奇偶性每3 個 一循環 , a2020奇偶性與a4奇偶性一樣
a2019奇偶性與a3奇偶性一樣, a2018奇偶性與a2奇偶性一樣
故014 配上奇偶奇,在mod 10 時就變成569.....即為所求 計算1
不失一般性，令\(p<q\)，\(p-1|3pq-1\)，\(p-1|3pq-1-p+1=p(3q-1)\)
由\((p,p-1)=1\)知\(p-1|3q-1\)，同理，\(q-1|3p-1\) (考試的時候只有得到類似的結論就猜11跟17)
\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}<\frac{3q-1}{q-1}=3+\frac{2}{q-1}\le3+\frac{2}{7-1}=3.\cdots\)
(1) 若\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}=1\)，\(3p=q\)，不合
(2) 若\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}=2\)，\(\displaystyle\frac{3q-1}{p-1}=\frac{9q-3}{2q-4}\)
由\(\displaystyle\lim_{q\to\infty}\frac{9q-3}{2q-4}=4.5\)和\(q=7\)時\(\displaystyle\frac{9q-3}{2q-4}=6\)知\(\displaystyle5\le\frac{9q-3}{2q-4}\le6\)
討論可知\(\displaystyle\frac{9q-3}{2q-4}=5\)時\(p=11,q=17\)
(3) 若\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}=3\)，\(3p=3q-2\)，不合
計算一跟二
瞭解了！！感謝swallow7103、BambooLotus老師計算ㄧ
謝謝BambooLotus老師指點計算ㄧ回復 15# anyway13 的帖子
令p=2m+1,q=2n+1代換可得
m | 3n+1
n | 3m+1
->mn | 9mn+3m+3n+1
->m=5 , n=8
->p=11, q=17
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