Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » I：數與函數 » 多項式除法：求x^48除以(x^2+x+3)的餘式

克勞棣 發表於 2020-5-4 17:50

多項式除法：求x^48除以(x^2+x+3)的餘式

如題。謝謝！
這不是作業，也不是任何考試的題目(所以應該不會有非常高超的技巧可以用)，而是我自己想到的題目。
我剛剛在努力算答案，求得答案是(169756952960‬x+107649721761)。不曉得對不對？

Lopez 發表於 2020-5-5 15:21

回復 1# 克勞棣 的帖子

[img]https://i.imgur.com/OrexL0v.png[/img]

Ellipse 發表於 2020-5-5 20:55

您問的這種問題說實在的,要用手算出來都很困難
直接丟給mathematica算就好
以下是它的指令~~~

克勞棣 發表於 2020-5-6 00:20

回復 3# Ellipse 的帖子

在下要的並不只是結果，重點是享受解題過程的樂趣嘛！
而且我沒規定每一步都要純手算，大整數的四則運算可以用電腦內建的"小算盤"代勞的(但"思考"是家用電腦至今無法代勞的)。
--------
顯然x^2+x+3≡0(mod x^2+x+3)，則
(以下省略(mod x^2+x+3))
x^2+x+1≡(-2)
→(x-1)(x^2+x+1)≡(-2)(x-1)
→x^3-1≡-2x+2
→x^3≡-2x+3

x^48≡(x^3)^16≡(-2x+3)^16
≡((-2x+3)^2)^8≡(4x^2-12x+9)^8≡(-16x-3)^8
(將括號內的二次式除以(x^2+x+3)，求其餘式，下同)
≡(256x^2+96x+9)^4≡(-160x-759)^4
≡(25600x^2+242880x+‭576081‬)^2≡(217280x+‭499281‬)^2
≡‭47210598400‬x^2+‭216967551360‬x+‭249281516961‬‬≡‭169756952960x+‬‭107649721761‬

查看完整版本: 多項式除法：求x^48除以(x^2+x+3)的餘式