109興大附中
學校第一次公告的題目卷是 word 轉 pdf 的電子檔，文字品質較好，但少了第 16 題的圖。經考生打電話反應後，學校第二次公告完整題目卷，含第 16 題的圖。
但此份題目卷是將題目拿去影印機掃描出來的檔案，解析度較差。
故我將第二次公告的題目卷中的第 16 題的圖，
剪貼至學校第一次公告的題目卷上，
重新上傳至此，供各位考生參考。
---
我發現上次重新整合的檔案，填充第 14 題有一個小括號消失了
故將此括號補上，重新上傳，供各位參考。 3.
求\( \displaystyle \sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2019^2}+\frac{1}{2020^2}} \)的值為[u] [/u]。
[提示]
看題目寫答案\(\displaystyle 2020-\frac{1}{2020}\)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
15.
有一底面半徑為 3 公分，且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的水面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成 60°角，如
下圖所示。試求此圓柱體在水面下的體積為[u] [/u]立方公分。
[公式]
\(\frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)
16.
如下圖，等腰直角\(\Delta ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)為正方形，且\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上，若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG\)的面積為[u] [/u]。
連結有解答，[url]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA478ans.pdf[/url]
17.
坐標平面上，由\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2\le 1\)，\(\displaystyle y+1\ge \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+1 \right)x\)，\(\displaystyle y+1\ge -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)x\)所圍成之面積為[u] [/u]。
平面上，由圖形\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \)，\( \displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)，\( \displaystyle y+1 \ge -(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)所圍成區域之面積為何？
(100高中數學能力競賽 台中區複賽試題二試題，[url]https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html[/url])
19.
在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示數字，其中的\(x_1，x_2，\ldots，x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數，例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\)，\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\)，試求\(x_5\)之值為[u] [/u]。
(97高中數學能力競賽 嘉義區複賽試題一，[url]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url])
連結有解答，[url]http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/semi_finals/97/97_jia_semi-finals_writtenexam_1s.pdf[/url]
20.
實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24}\)，求\(x^2+y^2+z^2=\)[u] [/u]。
94高中數學能力競賽 南區(高屏區)筆試二試題
計算題1.
已知\(0<a<1\)，\(0<b<1\)，\(0<c<1\)，\(0<d<1\)，且\(a+b+c+d=1\)，求\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\left(\frac{1}{d}-1\right)\)之最小值
已知\( a,b,c \)為正數且\( a+b+c=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{1}{a}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{b}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{c}-1 \Bigg)\; \)的最小值為？
(100成淵高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3466[/url]) 計算
不知道出處
但知道版上有人問過一模一樣的XD
[url]https://math.pro/db/thread-2973-1-1.html[/url] 請教第八題，謝謝！
回復 4# royan0837 的帖子
討論 x=1 時的函數值、左極限 ，x=-1 時的函數值、右極限，剩下就交給你了：）回復 1# Superconan 的帖子
謝謝立即分享，老師太熱心了！小弟不才，
想請教第13 . 19 .20 題
謝謝各位老師！
回復 6# AshsNutn 的帖子
13題，有暴力解法或者再請教看看有沒有大神解法
19題，把所有關係式寫出來
（我依序用abcdefghi)
令a+c+g+i=A，b+d+f+h=B，e
可以設三組聯立解
20題，用三次乘法公式代入代換
回復 6# AshsNutn 的帖子
謝謝 Almighty abc409212000 兩位老師的指點！ 想請教第六題，我知道可以推出六項一循環後去解，但為什麼用特徵值去假設一般解的方法算出來是錯的？我假設\(a_n=c_1(cos(pi/3)+isin(pi/3))^n + c_2(cos(-pi/3)+isin(-pi/3))^n \)帶入題目給的兩個條件 c1 c2會無解
(另外想請教如何在這裡輸入數學式，不然怕這樣打太亂傷各位老師眼睛)
109.5.3版主補充
用\(和\)將數學式子包起來
回復 10# jerryborg123 的帖子
你應該是把兩個常數當成實數去算了這兩個數字都是複數 分享16、18、19
第16題架上座標軸，來個解析幾何法吧！ 10補個連結
(99彰化女中)
[url]https://math.pro/db/thread-948-1-1.html[/url]
事後才發現以前看過這題
當下是覺得先畫一個\((x-1)^3\)，觀察圖形可知\(f(x)=(x-1)^3+p(x-1)+q,p\le0,q\ge0\)(這裡有瑕疵，沒有很刻意找\(p,q\)的範圍)
當\(p=q=0\)時即為所求
17補個bugmens老師有做過的方法，附個連結，就是模仿老師的方法而已，不獻醜了
(101中正高中)
[url]https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html[/url]
18補充個考試時間快到的時候突然想到的做法，跟樓上差不多，就是看起來清楚點而已
令\(\displaystyle t=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{2}\)，原式\(\displaystyle=t+\frac{64}{9}\frac{1}{t-1}=t-1+\frac{64}{9}\frac{1}{t-1}+1\ge\frac{19}{3}\)
[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2020-5-4 00:24 編輯 [/i]]
13.
回覆#6.[[i] 本帖最後由 laylay 於 2020-5-4 10:24 編輯 [/i]] 分享手寫訂正，有錯誤還多請大家指教～
感謝版上大大分享填充13,16,17,19想法 > < !!
回復 15# XINHAN 的帖子
第九題的絕對值有疑慮唷a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
-----------------------------------------------------------------
提供的想法，考慮一隻青蛙從1開始跳，最後跳到9
[[i] 本帖最後由 Almighty 於 2020-5-5 13:09 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Almighty[/i] 於 2020-5-5 12:20 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21120&ptid=3318][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
---------------------------------------------- ... [/quote]
感謝指出錯誤！！等等上完課補訂正 > <
考試時沒想那麼多，居然矇對 ... (a-b)的絕對值=(b-c)的絕對值
結果有兩種，a=c或b為a和c的中點
以a看有兩種，5和-3
a=5，b=1，c=5
a=5，b=9，c=5或13
a=-3，b=1，c=5
總共是這4種，我是直接窮舉法
若分成a=c和b為a、c中點
a=c，又因為a=5或-3，c=13或5
所以a=c=5，b有兩種，1或9
b為ac中點，所以三數為b-4，b，b+4
b-5=4，b=9，a=5，c=13
b-5=-4，b=1，a=-3，c=5 [quote]原帖由 [i]Almighty[/i] 於 2020-5-5 12:20 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21120&ptid=3318][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
---------------------------------------------- ... [/quote]
藉由老師的想法，
從1跳到9一次跳4格(只能左右跳)，所以必有右右、然而還有兩次所以必配左右
所以是"右右右左"排列方法數：4!/3!=4，Almightly老師是這樣嗎？
回復 19# XINHAN 的帖子
對唷～誤大誤撞（運氣）也是實力的一種頁:
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