109文華高中
如附件想請教計算那三題
附上本次考試所有考生成績的直方圖給各位參考
[attach]5421[/attach]
[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2020-4-23 11:02 編輯 [/i]] 謝謝分享！
想請教填充12
設\(f(x)=x^3-kx^2+4k\)，若\(f(x)=0\)恰有兩相異負根與一正根，則實數\(k\)的範圍為[u] [/u]。
已有兩負根一正根前提下
由中心點得k<-3√3
由一次微分找到x=2k/3反求y得
k<-3√6
取交集得
k小於-3根號6
不曉得錯誤在哪，謝謝！
回復 2# AshsNutn 的帖子
\(x=\frac{2}{3}k\)代入，算出來是還是\(k<-3\sqrt{3}\)回復 1# Superconan 的帖子
計算第一題\(\forall x \in R\)，不等式\(\displaystyle x^2 log_a \frac{a^2(a+1)}{3}+2xlog_a\frac{3a}{a+1}+log_a \frac{(a+1)^2}{9a^2}>0\)恆成立，求\(a\)的範圍？
[解答]
令\({{\log }_{a}}\frac{a+1}{3}=t\)
原不等式改寫成\(\left( 2+t \right){{x}^{2}}+2\left( 1-t \right)x+2\left( t-1 \right)>0\)
再利用\(t>-2\)及判別式小於0，可得\(\frac{1}{2}<a<1\)
計算第二題
類似的考古題考過兩次 計算2 參考108雄女
計算3
已知連續隨機變數\(X\)的機率密度函數\(f(x)=\cases{ax+b，0<x<1\cr 0，x\le 0或x\ge 1}\)且\(X\)的期望值\(\displaystyle E(X)=\frac{7}{12}\)，則\(X\)的變異數\(V(X)\)為何？
[解答]
應該是這樣算
機率總和為1
所以先由積分0~1 f(x)dx=1 列出第一個ab關係式
PS.因為上述區間範圍外皆為0，積分出來依舊是0，故考慮0~1即可
E(X)為積分0~1 xf(x)dx=7/12 列出第2個關係式
由上述可以得到a=1 b=1/2
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
先求出E(X^2)=積分0~1 (x^2)f(x)dx=5/12
故得Var(X)=5/12-(7/12)^2=11/144 填充11
一拋物線\(y^2=4x\)與一直線交於\(A\)、\(B\)兩點，已知拋物線與直線所圍出來的面積為\(\displaystyle \frac{9}{8}\)，則\(A\)、\(B\)的中點軌跡方程式為[u] [/u]。
獻醜一下，不知道有無其他快速解法??? [quote]原帖由 [i]swallow7103[/i] 於 2020-4-19 18:32 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=20989&ptid=3312][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充11 獻醜一下，不知道有無其他快速解法??? [/quote]
"拋物線與直線所圍成的區域面積"其實是有公式的
如您的假設~~
拋物線:x=(1/4)y² , 與直線AB的交點為A( (y1)²/4 ,y1 ) ,B( (y2)²/4 ,y2 )
則拋物線與直線所圍成的區域面積=[(1/4) /6]*| y1-y2|^3= 9/8
可得| y1-y2| =3 ,剩下就用您後面的方式處理~~
回復 1# Superconan 的帖子
計算 1 要記得檢查真數跟底數的條件雖然我瞄了一下前幾樓的答案，沒檢查答案也會對
但既然考計算，我猜沒檢查會扣分
回復 8# 年獸 的帖子
不是沒檢查，而是在這裡回答不用寫得太清楚回復 9# thepiano 的帖子
了解 補充一下公式已知\(ax^2+bx+c=0\)之二實根\(\alpha,\beta\)，則\(\displaystyle \int_a^b ax^2+bx+c dx=\frac{1}{6}a(\alpha-\beta)^3\)
(105陽明高中計算證明題)
舉手問一下#16
[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2020-4-19 21:19 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=20992&ptid=3312][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
"拋物線與直線所圍成的區域面積"其實是有公式的
如您的假設~~
拋物線:x=(1/4)y² , 與直線AB的交點為A( (y1)²/4 ,y1 ) ,B( (y2)²/4 ,y2 )
則拋物線與直線所圍成的區域面積=[(1/4) /6]*| y1-y2|^3= 9/8
可 ... [/quote]
回復 11# Sandy 的帖子
(6^3-3^3)(1/6)│OA向量,OB向量,OC向量│ 5.已知\(x,y,z\)滿足\(x+y+z=1\)，\(x^2+y^2+z^2=3\)，\(x^3+y^3+z^3=5\)，則\(x^4+y^4+z^4=\)？
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076[/url])
8.
在坐標平面上，從點\(A(0,0)\)走捷徑到點\(B(6,5)\)，共轉三次彎的情形下，走法共有[u] [/u]種。
坐標平面上，自\(A(0,0)\)沿方格之邊走到\(B(6,4)\)，以走捷徑方式(只能往上，往右)，恰轉三次彎(行進方向恰改變三次)的方法有[u] [/u]種。
(99嘉義高工，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=964&page=1#pid2198[/url])
thepiano解題，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1550[/url]
計算2.
如右圖，一直圓柱體底面為半徑6公尺的圓，平面\(E\)通過直圓柱底面圓的直徑，且平面 E 與直圓柱的底面夾角為\(30^{\circ}\)，平面\(E\)將此直圓柱體切割成兩塊，求較小塊的體積為多少立方公尺？
底面半徑為5的直圓柱，今有一個含底面一直徑而與底面成\( 45^{\circ} \)的一個平面截出一小塊立體圖形，則此立體圖形體積為何？
(A)80 (B)\( \displaystyle \frac{250}{3} \) (C)\( \displaystyle \frac{260}{3} \) (D)90
(105大安高工代理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011[/url])
公式：\(\frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \) 想請教填充第二題
在複數平面上，\(O\)為原點，點\(A(z_1)\)，\(B(z_2)\)，已知\(|\;z_1-3+4i|\;=1\)且\(\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=1+\sqrt{3}i\)，則\(\Delta OAB\)面積之最大值為[u] [/u]。
Z2 是圓心在(6,-8)半徑為2，主幅角和z1 差60度，這個想法對嗎？
這樣算最後用行列式、函數疊合求出的面積最大值為5+3^(1/2)/2，與正確答案不同
回復 14# jerryborg123 的帖子
應該是Z1是圓上一點(圓心在(3,-4),半徑為1)Z1和Z2夾角為60度 [quote]原帖由 [i]jerryborg123[/i] 於 2020-4-24 16:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21043&ptid=3312][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充第二題
Z2 是圓心在(6,-8)半徑為2，主幅角和z1 差60度，這個想法對嗎？
這樣算最後用行列式、函數疊合求出的面積最大值為5+3^(1/2)/2，與正確答案不同 ... [/quote]
應該是Z1(A點) 在圓心(3,-4)半徑為1的圓上
將OA逆時針旋轉60度,然後再伸長為OA的2倍 (即OB=2OA)
所求三角形OAB面積=(1/2)*OA*OB*sin60度=√3/2*OA²
當OA=√(3²+(-4)²) +1 =6時
所求有最大值=(√3/2)*6²=18√3
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2020-4-24 22:52 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]jerryborg123[/i] 於 2020-4-24 16:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21043&ptid=3312][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充第二題
Z2 是圓心在(6,-8)半徑為2，主幅角和z1 差60度，這個想法對嗎？
這樣算最後用行列式、函數疊合求出的面積最大值為5+3^(1/2)/2，與正確答案不同 ... [/quote]
回復 17# Ellipse 的帖子
想請教老師，為什麼旋轉的是OA呢？我的想法是圓的半徑轉60度，所以認為角AOB不會固定是60度
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我懂了，是我自己搞錯，謝謝橢圓老師 想請教填充第九題
回復 19# jerryborg123 的帖子
第 9 題設\(f(x)\)、\(g(x)\)皆為實係數多項式，當\(0\le x \le 1\)，恆有\(f(x)\ge g(x)\)，設\(0\le k \le 1\)，斜線區域\(R_k\)為\(y=f(x)\)、\(y=g(x)\)圖形與直線\(x=0\)、\(x=k\)所圍成的封閉圖形。已知\(R_k\)的面積為\(\displaystyle \frac{2}{5}k^5-k^4+k^2\)，將\(R_k\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉體體積為\(\displaystyle (-\frac{4}{9}k^9+k^8+\frac{2}{3}k^6-\frac{16}{5}k^5+\frac{8}{3}k^3)\pi\)，則多項式\(g(x)=\)[u] [/u]。
參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=29116#p29116[/url]