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少林寺的和尚武功千變萬化、飛簷走壁,
是過去挑了多少桶水上山?

Almighty 發表於 2020-4-18 01:08

109台中一中

繼續再努力奮鬥
回憶讓大腦奮戰
題目未照原順序
還有兩題無法了
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感謝 #stu2005131 老師的回覆
感謝 #swallow703 老師的回覆
(學校之後應該也會公告試題)
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weiye 於 109.04.20,13:44 補附上台中一中公告之試題及詳解。
另有官方公告如下:
​數學科 填充題甲 第9題,因「假設 a,b皆為正整數」,經研議後確實無法計算,故本題「不予採計分數,送分」。
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由於學校已經公告官方正式版
將記憶版手稿圖片刪除掉
若老師們可以的話
再把問題的題號改成正確題號
方便以後的老師閱讀方便~謝謝109/04/20,20:30
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含詳解第七題的最後算出來的答案有誤(過程無誤)110/02/26

stu2005131 發表於 2020-4-18 01:42

回復 1# Almighty 的帖子

第六題應該是求角度的sin值

第九題有a,b為正整數的條件

有一題是給一堆外積的外積&內積組合是7
然後問另外三個向量所圍的平行四面體體積

swallow7103 發表於 2020-4-18 09:38

回復 1# Almighty 的帖子

還少一題,
(8^x + 27^x) / (12^x +18^x) = 7/6
求 x = ?

czk0622 發表於 2020-4-18 11:00

回復 1# Almighty 的帖子

15.
設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\),且\(a+b+c=12\),求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為[u]   [/u]。
[解答]
設 \( A=b+c-a,B=a+c-b,C=a+b-c\),則 \(\displaystyle A+B+C=a+b+c=12,a=\frac{B+C}{2},b=\frac{A+C}{2},c=\frac{A+B}{2}\)
原式 \(\displaystyle =\frac{B+C}{2A}+\frac{2A+2C}{B}+\frac{9A+9B}{2C}=(\frac{B}{2A}+\frac{2A}{B})+(\frac{C}{2A}+\frac{9A}{2C})+(\frac{2C}{B}+\frac{9B}{2C})\)
由算幾不等式知:原式\(\displaystyle \geq 2\sqrt{\frac{B}{2A}\frac{2A}{B}}+2\sqrt{\frac{C}{2A}\frac{9A}{2C}}+2\sqrt{\frac{2C}{B}\frac{9B}{2C}}=2+3+6=11\)
等號成立時 \(A:B:C=1:2:3\),即 \(a=5,b=4,c=3\)

111.7,4補充
相關問題,[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278[/url]

Almighty 發表於 2020-4-18 13:10

回復 4# czk0622 的帖子

設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\),且\(a+b+c=12\),求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為[u]   [/u]。
[解答]
我是這樣算~(柯西路線)
令\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=6\)
\(s-a=x\)、\(s-b=y\)、\(s-c=z\),\(x+y+z=18-12=6\)
求\(\displaystyle =\frac{1(6-x)}{2x}+\frac{4(6-y)}{2y}+\frac{9(6-z)}{2z}\)
 \(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\right)-(1+4+9)\right]\)
 \(\displaystyle \ge \frac{1}{2}(36-14)=11\)

By Cauchy
\(\displaystyle \left(\frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\right)(x+y+z)\ge (\sqrt{6}+\sqrt{24}+\sqrt{54})^2\)
\(\displaystyle \frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\ge 36\)

5pn3gp6 發表於 2020-4-18 23:10

9.
已知直線\(L\):\(6x-5y-28=0\)交橢圓\(\Gamma\):\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\),且\(a,b\)皆為正整數)於兩點\(A\)、\(C\),且\(B(0,b)\)為橢圓\(\Gamma\)的頂點。若\(\Delta ABC\)的重心\(G\)恰為橢圓的右焦點\(F_2(c,0)\),其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\),則橢圓\(\Gamma\)的正焦弦長為[u]   [/u]。

橢圓那題應該有誤,a,b不能同時是整數。
不然就是我理解有誤

\(L:6x-5y-28=0,\,y=\frac{6x-28}{5}\),令橢圓與直線的兩交點為\(\left(\alpha,\frac{6 \alpha-28}{5}\right),\left(\beta,\frac{6 \beta-28}{5}\right)\)
兩交點與\((0,b)\)之重心為\((c,0)\)
 
由y座標:\(b+\frac{6 \alpha-28}{5}+\frac{6 \beta-28}{5}=0\) => \(5b+6\alpha-28+6\beta-28=0\) => \(\alpha+\beta=\frac{56-5b}{6}\) ===(*)
由x座標:\(\frac{0+\alpha+\beta}{3}=c\)  ==由(*)==> \(c=\frac{56-5b}{18}\)
所以\(c\)為有理數。又\(a,b\)為正整數,且\(a=\sqrt{b^2+c^2}\),所以c亦為正整數。
由\(b,c\)為正整數與\(c=\frac{5b+56}{18}\),可得\(b=4,c=2\),所以\(a=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\)。

 
所以正焦弦長為\(\frac{16\sqrt{5}}{5}\)。

但是\(a\)不是整數,與題目設定不合。
 
我用GGB跑了一下也是一樣的結果。
希望不是我理解錯誤。

Almighty 發表於 2020-4-19 01:23

回復 6# 5pn3gp6 的帖子

我當下是沒印象有整數條件
不過有其他老師提供此資訊
或者等官方版釋出再確認

stu2005131 發表於 2020-4-19 01:32

回復 7# Almighty 的帖子

我印象蠻深刻的 應該是有的
因為我當下算出跟6樓一樣的結論 但因為看到要正整數解 所以覺得這答案是錯的了

satsuki931000 發表於 2020-4-19 10:13

回復 7# Almighty 的帖子

確定有這條件
和 5pn3gp6 老師 算出一模一樣的結論
但湊不出長軸為正整數的條件

jasonmv6124 發表於 2020-4-19 20:22

想請問第2題.第5題

Almighty 發表於 2020-4-19 20:54

回復 10# jasonmv6124 的帖子

第2題
設\(P(x)=x^5-x^2+1=0\)的五個根為\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5\),\(Q(x)=x^2+1\),則\(Q(\alpha_1)\cdot Q(\alpha_2)\cdot Q(\alpha_3)\cdot Q(\alpha_4)\cdot Q(\alpha_5)=\)[u]   [/u]。
[解答]
可強迫分解成
(a1+i)(a1-i)......(a5+i)(a5-1)
[(a1+i)(a2+i)...(a5+i)][(a1-i)(a2-i)...(a5-i)]
就可以採用複數分解

第10題
圖是根據題目線索畫出來的
用畢氏定理、中線定理找出藍色、綠色
就可找出夾角

jasonmv6124 發表於 2020-4-19 21:19

回復 11# Almighty 的帖子

謝謝A大

另外再請問11.16題
13有除了窮舉以外的方法嗎??

zidanesquall 發表於 2020-4-19 22:02

回復 11# Almighty 的帖子

提供另外一個第五題想法

我第五題到出考場才想到解法...超嘔

利用向量外心性質,可以解出cos(BAC)再轉成sin(BAC)

mathman 發表於 2020-4-19 22:22

回復 10# jasonmv6124 的帖子

第二題
把\(x^2+1\)寫成\((x-i)(x+i)\)
分成兩組的根與係數 分別帶入\(i\)跟\(-i\)計算

第五題
分別對向量AB、向量AC內積可得到\(AB\cdot AC\)與\(AB^2\)、\(AC^2\)的關係式
再用餘弦求解

5pn3gp6 發表於 2020-4-19 22:31

看來第五題有好多種做法
我也提供一個用了分點公式、餘弦定理、正弦定理的方法
[attach]5403[/attach]

第11題
那個.....更正一下
中間那邊用的是餘弦定理,不是餘式定理
就不改圖了
[attach]5404[/attach]

thepiano 發表於 2020-4-20 09:25

回復 12# jasonmv6124 的帖子

第16題
\(\begin{align}
  & \cos \left( \alpha +\beta  \right)=\cos \alpha +\cos \beta  \\
& \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha -\cos \beta =0 \\
&  \\
& \cos \beta =x,\sin \beta =y \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\
& \left( \cos \alpha -1 \right)x-(\sin \alpha )y-\cos \alpha =0 \\
&  \\
& \frac{\left| -\cos \alpha  \right|}{\sqrt{{{\left( \cos \alpha -1 \right)}^{2}}+{{\left[ -(\sin \alpha ) \right]}^{2}}}}\le 1 \\
& \frac{\cos \alpha }{\sqrt{2-2\cos \alpha }}\le 1 \\
& -1\le \cos \alpha \le -1+\sqrt{3} \\
\end{align}\)

mathman 發表於 2020-4-20 10:08

回復 6# 5pn3gp6 的帖子

[url]https://reurl.cc/Y1e93x[/url]

學校已公告本題送分

5pn3gp6 發表於 2020-4-20 13:19

台中一中給試題了  還附有詳解
h ttp://per.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/top02/022/%E8%87%BA%E4%B8%AD%E5%B8%82%E7%AB%8B%E8%87%BA%E4%B8%AD%E7%AC%AC%E4%B8%80%E9%AB%98%E7%B4%9A%E4%B8%AD%E7%AD%89%E5%AD%B8%E6%A0%A1109%E5%AD%B8%E5%B9%B4%E7%AC%AC1%E6%AC%A1%E6%95%99%E5%B8%AB%E7%94%84%E9%81%B8%E8%A9%A6%E9%A1%8C%E5%8F%8A%E8%A9%B3%E8%A7%A3-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%A7%91-91791459 連結已失效

royan0837 發表於 2020-4-20 20:06

最低錄取57分

jasonmv6124 發表於 2020-4-21 19:37

謝謝大家

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