Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » I：數與函數 » n為非負整數，請問如何證明78557 × 2^n + 1恆為合數？

克勞棣 發表於 2020-2-8 14:12

n為非負整數，請問如何證明78557 × 2^n + 1恆為合數？

如題，這個命題是對的，但是請問如何證明呢？謝謝！

thepiano 發表於 2020-2-8 16:50

回復 1# 克勞棣 的帖子

Sierpinski number

克勞棣 發表於 2020-2-9 14:48

78557的確是Sierpinski數，可是這不算證明吧？「78557是Sierpinski數，所以78557 × 2^n + 1恆為合數」乃是循環論證。

目前在下能確定的有
1. [color=Blue]n為偶數時，78557 × 2^n + 1恆為3的倍數。[/color]
  證明：78557 × 2^(2k) + 1≡78557 × 4^k + 1≡2 × 1^k + 1≡3≡0 (mod 3)
2. [color=Blue]n被4除餘1時，78557 × 2^n + 1恆為5的倍數。[/color]
  證明：78557 × 2^(4k+1) + 1≡157114 × 2^(4k) + 1≡4 × 16^k + 1≡4 × 1^k + 1≡5≡0 (mod 5)
3. n被4除餘3時
   3-1. [color=Blue]n被12除餘7時，78557 × 2^n + 1恆為7的倍數。[/color]
       證明：78557 × 2^(12k+7) + 1≡10055296 × 2^(12k) + 1≡6 × 64^(2k) + 1≡6 × 1^(2k) + 1≡7≡0 (mod 7)
   3-2. [color=Blue]n被12除餘11時，78557 × 2^n + 1恆為13的倍數。[/color]
       證明：78557 × 2^(12k+11) + 1≡160884736 × 2^(12k) + 1≡12 × 4096^k + 1≡12 × 1^k + 1≡13≡0 (mod 13)

那麼[color=red]n被12除餘3的時候[/color]呢？謝謝！

thepiano 發表於 2020-2-9 16:43

回復 3# 克勞棣 的帖子

19 or 37 or 73

thepiano 發表於 2020-2-9 17:27

回復 3# 克勞棣 的帖子

在這裡請問別人怎麼證明，有人會給你完整證明，有人會提示你關鍵字，剩下的要靠你自己。

克勞棣 發表於 2020-2-12 02:15

回復 5# thepiano 的帖子

所以是還要把「n被12除餘3」細分成「n被36除餘3」、「n被36除餘15」、「n被36除餘27」三種情況嗎？

thepiano 發表於 2020-2-12 08:32

回復 6# 克勞棣 的帖子

對

克勞棣 發表於 2020-2-12 11:43

回復 7# thepiano 的帖子

那這樣我證完了，n的所有可能性都已考慮，無一不是合數。{3,5,7,13,19,37,73}為78557 × 2^n + 1的覆蓋集。謝謝。

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