連續9項都是質數的等差數列
等差數列a, a+d, a+2d,......，a與d都是正整數，且數列的前9項都是質數。例如數列3499, 3709, 3919, 4129, 4339, 4549, 4759, 4969, 5179，連續9項都是質數。
1.請證明a≧11。
2.請證明d是210的倍數。
(當然，以上兩點都只是構成這種數列的必要非充分條件。)
回復 1# 克勞棣 的帖子
證法1閣下以前在其他論壇問過類似題(也是我證的),請參考:
[url]http://www.mathland.idv.tw/forum/memo.asp?srcid=43037&bname=ASP[/url]
將該類似題的證法用來證此題,需略修改(1),
其次(2)要補上 mod 7 的6*6表格.
證法2
(1)
假設 a < 11 , 又a是質數, 因此 a = 2, 3, 5, 7
( a + ad )在此數列的前9項中, 且 a+ad = a(1+d) 非質數,矛盾.
故假設 a < 11 是錯的,因此 a ≥ 11
(2)
令 P = { 2, 3, 5, 7 } , M = { 1, 2, ... , p-1 } , 設 p ∈ P
則 a ≠ 0 ( mod p ) ( 註解1)
故可設 a ≡ b ( mod p ) , 其中 b ∈ M
假設 d ≠ 0 ( mod p )
故可設 d ≡ c ( mod p ) , 其中 c ∈ M
Q: 若 a + xd ≡ 0 ( mod p ) ,則 x 的整數解是否存在?
Ans: 是. 原因如下.
a + xd ≡ b + cx ≡ 0 ( mod p )
cx ≡ -b ( mod p ) 為線性同餘方程
因為c為M中的元素,所以 gcd( c , p ) = 1 , 因此 gcd( c , p )｜-b
故x 的整數解恰有1個,在完全剩餘系M中. (請參考維基百科"線性同餘方程")
即 a + xp 在此數列的前9項中
因為 a + xd ≡ 0 ( mod p ) , 又 a ≥ 11
所以 a + xp 不是質數,矛盾.
因此假設 d ≠ 0 ( mod p ) 是錯的, 即 d ≡ 0 ( mod p )
因此 d 除以 2, 3, 5, 7 皆餘0, 即 d 是210的倍數,得證.
( 證法2可推廣到更多連續項,d更大的情況,如: d = 2*3*5*7*11 , 2*3*5*7*11*13 , ..... )
註解1
claim: a ≠ 0 ( mod p )
pf : 假設 a ≡ 0 ( mod p )
則 a = np , 其中 n 為正整數
當 n = 1 , a = p ≤ 7 , 與 a ≥ 11 矛盾.
當 n ≥ 2 , a = np = 合數 , 與 a為質數矛盾.
故得證.
回復 2# Lopez 的帖子
抱歉！在下理解的資質比較差，所以您的兩種證法都讓我似懂非懂，容我用自己的話說明一遍，您看對不對？可能會比較冗長，請見諒。先單獨證明d是7的倍數，2, 3, 5的倍數同理。
第一步：a至少是11
此數列的第(a+1)項是a的(1+d)倍，不為質數。而此數列有9項，故a=2, 3, 5, 7時，皆會使數列中出現合數，與已知各項皆為質數不合，故a至少是11。
第二步：(a,7)=1
若a是7的倍數，則a只能等於7，但這與第一步的結論不合，故a不是7的倍數，即(a,7)=1。
第三步：d是7的倍數
假設d不是7的倍數，即(d,7)=1，
考慮數列前7項a, a+d, a+2d,......., a+6d，
它們都不是7的倍數(因為7的倍數中只有7是質數，但首項已經是11以上，而數列卻越來越大，所以不可能出現7)，因此將此連續7項分別除以7，餘數只可能是1, 2, 3. 4, 5, 6其中之一。
共7項，卻只有6種餘數的可能，根據鴿籠原理，必至少有相異2項有相同的餘數，
故設a+xd≡a+yd(mod 7)，其中x,y屬於{0,1,2,3,4,5,6}且x≠y，
xd≡yd(mod 7)，
(d,7)=1，故兩邊可同除以d，得x≡y(mod 7)
因此(x-y)是7的倍數，但因為0≦|x-y|≦6-0=6，故(x-y)只能等於0，即x=y，但這與假設x≠y矛盾，
故一開始就假設錯誤，亦即d須為7的倍數。
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補充一：
所以事實是，此數列每一項除以7，餘數都相同，仍符合「至少有相異2項有相同的餘數」，但由於不能把xd≡yd(mod 7)的d消掉，所以推不出x=y。
補充二：
反過來說，用類似的方法可以證明：正整數等差數列(不限定每項皆為質數)，若公差不是質數p的倍數，則其連續p項分別除以p，所得的餘數必定兩兩相異，且必然有某項是p的倍數。(合數則只在與公差互質時才有此性質)
回復 3# 克勞棣 的帖子
抱歉,我有"鴿籠原理障礙"(只能"看"懂原理本身,卻從來不會應用,也就是不算完全理解),因此沒資格評論您的證法.
基本上,我是用線性同餘方程的性質作為核心證明的依據.
回復 4# Lopez 的帖子
咦！怎麼會有這種怪事？我以為使用到鴿籠原理的證明題對您這樣的高手來說應該不是問題。所以Lopez大師您會不會證明「從1到100的整數中任選51個數，則其中至少有2個數互質」呢？
[[i] 本帖最後由 克勞棣 於 2020-2-4 12:08 編輯 [/i]]
回復 5# 克勞棣 的帖子
我從來就不是高手,頂多只能算是工兵型的解題者,只會解一般的題目.困難的題目就交給真正的高手吧,至少這個網站還有不少這樣的高手!!
數學是非常需要天份( IQ > 140 )的學科,坦白說,這樣的天份我沒有...
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