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克勞棣 發表於 2020-1-11 07:58

證明內心在某一邊的中垂線上的三角形必為等腰三角形

有三角形ABC,其內心在BC邊的中垂線上,如何證明ABC是等腰三角形?謝謝!

註:如同「證明三角形有兩內角的角平分線等長,則它是等腰三角形」(但我現在沒有要證明這個)一樣,在下自己想出來的這一題對我而言也是「看似簡單,實際頗難」,所以懇求各位先進幫忙。

克勞棣 發表於 2020-2-4 11:29

回復 1# 克勞棣 的帖子

哈囉!這一題有人會嗎?謝謝指教。

tsusy 發表於 2020-2-4 15:00

回復 1# 克勞棣 的帖子

令 \( I \) 為 \( \Delta ABC \) 之內心,因 \( I \) 在 \( \overline{BC} \) 的中垂線上,故 \( \overline{IB}=\overline{IC} \)

\( \Rightarrow\Delta IBC \) 為等腰三角形且 \( \angle IBC=\angle ICB \)

因 \( I \) 為 \( \Delta ABC \) 之內心,所以 \( \angle ABC=2\angle IBC=2\angle ICB=\angle ACB \)

因此 \( \Delta ABC \) 為等腰三角形且 \( \overline{AB}=\overline{AC} \)

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