108北一女代理
題號不一定按照順序 還請有去的老師一起補完1.絕對值函數=a有三實根，求a的範圍
2.一個6*1的方格用紅黃綠三種顏色塗，每格塗一種顏色，規定3種顏色至少要都用到一次，問紅色不相鄰的情形有幾種
3.一個正五邊形ABCDE，\(\vec{AC}\)=\(x\vec{AB}\)+\(y\vec{AE}\) 求\((x，y)\)
4. \(2x^3-x \)= \(cos(10\pi x)\)有幾個實根
5.\(\Delta ABC\) ，\(\overline{AB}=5\)。\(\overline{BC}=7\)。\(\overline{AC}=6\) ，\(B\)點對\(\overline{AC}\)做垂線交\(\overline{AC}\)於\(E\)點，\(C\)點對\(\overline{AB}\)做垂線交\(\overline{AB}\)於\(F\)點
求\(\overline{EF}\)
6.
7.\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty } \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n!+(n+1!)}\)
8.(1) .a。b，c屬於實數，求\(4a+4b+4c-a^2-b^2-c^2\)的最大值
(2)\(\displaystyle 2^{\frac{a}{2}+\frac{2}{b}}\)+\(2^{\frac{b}{2}+\frac{2}{c}}\)+\(2^{\frac{c}{2}+\frac{2}{a}}\)的最小值
(3)若\(\displaystyle\frac{a}{2}+\frac{2}{b}\)=\({log_{2}}^{4b-a^2}\)，\(\displaystyle\frac{b}{2}+\frac{2}{c}\)=\({log_{2}}^{4c-b^2}\)，\(\displaystyle\frac{c}{2}+\frac{2}{a}\)=\({log_{2}}^{4a-c^2}\)，求\(a，b，c\)
想請問 2 .3. 8(2)(3) 2.知道怎麼算了XD
分三種情形
1個紅球：不管怎麼選一定不相鄰 剩下的方法數為2^5-2 共有180種
2個紅球：不相鄰的情形有10種 剩下的方法數為2^4-2 共有140種
3個紅球：不相鄰的情形有4種 剩下的方法數為2^3-2，共有24種
總和為344種
回復 1# satsuki931000 的帖子
[img]https://i.imgur.com/AJJ8Bp5.png[/img]回復 1# satsuki931000 的帖子
8(2) 沒有說 a、b、c 是正實數嗎？只有實數的話，最小值接近 0，但取不到
回復 4# thepiano 的帖子
我印象中題目就是這樣如果題目改成都是正實數該如何下手? 順便補一下中午想到的做法
[attach]5202[/attach]
2021.7.15新增
設\(\displaystyle \overline{BE},\overline{AC}\)交點為\(F\)，\(\overline{BF}:\overline{FE}=x:y\)
令\(\displaystyle \vec{AF}=y\vec{AB}+x\vec{AE}\)，且\(\overline{AF}:\overline{FC}=x:y\)
可得\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{y}{x}\vec{AB}+\vec{AE}\)
又\(\displaystyle \overline{BF}=\frac{1}{2sin54^{\circ}},BE=2cos36^{\circ}\)
所以\(\displaystyle \overline{BF}:\overline{FE}=2 : (\sqrt{5}+1)\)
得\(\displaystyle \frac{y}{x}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) [size=3]正五邊形 ABCDE，(向量AC) = x (向量AB) + y (向量AE)，[/size][size=3]求 (x, y)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: [/size]
[size=3][/size]
[size=3]在 108°-36°-36° 的三角形中，底長 /腰長 = φ (黃金比例) = (1+√5) /2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]向量AC = 向量AE + 向量EC = 向量AE + φ (向量AB)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故 x = φ = (1+√5) /2，y = 1。[/size]
[size=3][/size]
回復 5# satsuki931000 的帖子
第8題\(\begin{align}
& \left( 2 \right) \\
& {{2}^{\frac{a}{2}+\frac{2}{b}}}+{{2}^{\frac{b}{2}+\frac{2}{c}}}+{{2}^{\frac{c}{2}+\frac{2}{a}}} \\
& \ge 3\sqrt[3]{{{2}^{\frac{a}{2}+\frac{2}{b}+\frac{b}{2}+\frac{2}{c}+}}^{\frac{c}{2}+\frac{2}{a}}} \\
& =3\sqrt[3]{{{2}^{\left( \frac{a}{2}+\frac{2}{a} \right)+\left( \frac{b}{2}+\frac{2}{b} \right)+}}^{\left( \frac{c}{2}+\frac{2}{c} \right)}} \\
& \ge 3\sqrt[3]{{{2}^{2+2+2}}} \\
& =12 \\
\end{align}\)
算幾第一個等號成立於\(a=b=c\)，第二個等號成立於\(a=b=c=2\)
\(\begin{align}
& \left( 3 \right) \\
& 4b-{{a}^{2}}={{2}^{\frac{a}{2}+\frac{2}{b}}} \\
& 4c-{{b}^{2}}={{2}^{\frac{b}{2}+\frac{2}{c}}} \\
& 4a-{{c}^{2}}={{2}^{\frac{c}{2}+\frac{2}{a}}} \\
& 4a+4b+4c-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}={{2}^{\frac{a}{2}+\frac{2}{b}}}+{{2}^{\frac{b}{2}+\frac{2}{c}}}+{{2}^{\frac{c}{2}+\frac{2}{a}}} \\
\end{align}\)
左式最大值12，右式最小值12
故\(a=b=c=2\)
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