證明第一題
[attach]5046[/attach]其實此題跟Pi無關，隨便連續寫2020個數字，中間一定有一段是2019的倍數。
回復 2# Superconan 的帖子
填充第 10 題以下度省略
原式 = (tan10)^2 + 1 + (tan70)^2 + 1 + (tan50)^2 + 1
而 (tan10)^2 + (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9，這是 105 能力競賽，嘉義區複賽試題
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-12 22:30 編輯 [/i]] 感謝以上老師回答
回復 22# thepiano 的帖子
(tan10)^2 + (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9 這個算式感覺也很不容易呀＠＠以下是 105 年高中能力競賽，嘉義區複賽所給的解析，給各位參考
[attach]5047[/attach]
[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2019-5-12 23:29 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2019-5-12 22:55 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19916&ptid=3133][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(tan10)^2 + (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9 這個算式感覺也很不容易呀＠＠
[/quote]
引用解法最好註明一下來源
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 23:09 編輯 [/i]]
回復 25# Ellipse 的帖子
不好意思，這是從別人手上拿到的詳解，不知道是誰解的，所以我無法註明來源我只是想跟網友分享，如果不妥的話，我再刪除 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2019-5-12 23:13 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19918&ptid=3133][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思，這是從別人手上拿到的詳解，不知道是誰解的，所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享，如果不妥的話，我再刪除 [/quote]
Superconan的來源應該是這裡，連結已失效h ttps://www.cysh.cy.edu.tw/files/15-1001-2330,c629-1.php
但這解法太麻煩，我下面貼一篇。 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2019-5-12 23:13 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19918&ptid=3133][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思，這是從別人手上拿到的詳解，不知道是誰解的，所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享，如果不妥的話，我再刪除 [/quote]
這個是105年高中能力競賽,嘉義區複賽所給的解析
註明來源就好了
回復 28# Ellipse 的帖子
原來是這個意思！那我知道了，謝謝橢圓老師！第10題
利用根與系數關係來算--------------------------------------
[attach]5050[/attach]
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這種題目通常都可以用這招，若只有三個就找三倍角公式（四個的就找四倍角公式），然後把角度三倍看看值一不一樣，有時可以用餘角、補角去試。
此題為例，cos10可以先化為sin 80，然後三倍角後的sin值相同，就可以用這招。
以thepiano貼的嘉義105年的為例tan50三倍角後差一個負號，但剛好它是平方，所以就改成tan(-50)又剛好。
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[attach]5051[/attach]
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可以看出嘉義這題比較難一點。
有人密我說是不是我出的，不是啦，這想法是從ptt看來的，單純搜尋能力而已，來源如下：
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1381494079.A.6A2.html?fbclid=IwAR3XKfXXLFEMlKu_cw6TGZhFGXg4oNuDwPvsh-0AucSjCpiracaVhTJvWDo[/url]
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2019-5-12 23:48 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2019-5-12 23:38 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19924&ptid=3133][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
利用根與系數關係來算
5050
這種題目通常都可以用這招，若只有三個就找三倍角公式（四個的就找四倍角公式），然後把角度三倍看看值一不一樣，有時可以用餘角、補角去試。
此題為例，cos10可以先化為sin 80，然後三倍角後的sin值相 ... [/quote]
老師厲害~~又一位高手來造福考生~~
回復 30# DavidGuo 的帖子
您同事出題蠻狠的 ... 這張會寫1/3 以上就很厲害了 填10原式\(\displaystyle=\frac{2}{1+\cos20^\circ}+\frac{1}{1-\cos^220^\circ}+\frac{1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-8\cos^320^\circ+1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\) \(\left(-8\cos^320^\circ+6\cos20^\circ=-1\right)\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-6\cos20^\circ}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2(1-\cos^220^\circ)\cos20^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2\cos20^\circ-2\cos^320^\circ}\) \(\displaystyle\left(-2\cos^320^\circ+\frac{3}{2}\cos20^\circ=-\frac{1}{4}\right)\) 其實考試當下看到\(\displaystyle-\frac{1}{4}\)我就已經先填答案是\(12\)了
\(\displaystyle=\frac{6\cos20^\circ-3}{\displaystyle\frac{1}{2}\cos20^\circ-\frac{1}{4}}=12\) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2019-5-12 23:45 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19926&ptid=3133][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
您同事出題蠻狠的 ... [/quote]
呵呵，
其實聯招的題目會由兩位教授出題，題目有易有難，
然後幾位資深高中老師入圍選題，選題也蠻關鍵的。 證明2
回復 16# DavidGuo 的帖子
其實另一種直觀想法abc最大值發生在a=b=c
所以x=y=z=pi/4時，等式成立，所以最大值為根號2/4
我是利用柯西不等式和三角恆等式(sin^2 x+cos^2 x=1) [quote]原帖由 [i]DavidGuo[/i] 於 2019-5-13 00:33 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19930&ptid=3133][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
呵呵，
其實聯招的題目會由兩位教授出題，題目有易有難，
然後幾位資深高中老師入圍選題，選題也蠻關鍵的。 [/quote]
您們可以統計看看那些難題,在短短80分鐘內,464位考生有幾個做的出來?
(平均一題不到6分內就要解出來)
回復 30# DavidGuo 的帖子
sin240度是-根號3/2喔，這次是剛好有平方才一樣的。sin60度=sin120度=根號3/2
稍微有錯誤，請更正。 請教第5題
我的算法是2019個7跟2017個7會同餘
這樣算下來會直接跟1個7同餘
所以我答案算7
不知道這樣哪裡算錯?