108全國高中聯招
3.矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=3\)，沿\(\overline{AC}\)將矩形\(ABCD\)折成一個直二面角\(B-\overline{AC}-D\)，則四面體\(ABCD\)的外接球的體積為？
(A)\(\displaystyle \frac{125}{12}\pi\) (B)\(\displaystyle \frac{125}{9}\pi\) (C)\(\displaystyle \frac{125}{6}\pi\) (D)\(\displaystyle \frac{125}{3}\pi\)
[attach]5134[/attach]
4.
一圓周上有10個等分點，從這10個等分點中，選擇4個等分點為頂點構成一個四邊形，則此四邊形為梯形的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{8}{21}\) (B)\(\displaystyle \frac{4}{21}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{7}\)
已知一圓周上有12個等分點，從這12個等分點中，任意選4個等分點作為頂點構成一個四邊形，試問此四邊形為梯形的機率為何？
(1)\(\displaystyle \frac{21}{55}\) (2)\(\displaystyle \frac{56}{165}\) (3)\(\displaystyle \frac{14}{55}\) (4)\(\displaystyle \frac{8}{33}\) (5)\(\displaystyle \frac{12}{55}\)
[url]http://mail2.cjhs.kh.edu.tw/PhysicsElearning/wp-content/uploads/2017/12/105%E5%AD%B8%E5%B9%B4%E5%85%A8%E5%9C%8B%E9%AB%98%E4%B8%AD%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%A8%A1%E6%93%AC%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%A7%911.pdf[/url]
10.
職棒明星賽採5戰3勝制，當參賽紅、白兩隊中有一隊贏得3場比賽時，就由該隊獲勝而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設紅隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值\((0\le p \le 1)\)，請選出正確的選項：
(A)\(f(p)\)的常數項等於3
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(D)若紅、白兩隊實力旗鼓相當，則最後比5場結束的機率大於比4場結束的機率
職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值(其中\(0\le p \le 1\))，請選出正確的選項：
(A)只須比賽 3 場就產生晉級球隊的機率為\(p^3+(1-p)^3\)
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)\(f(p)\)的常數項等於3
(D)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(E)\(\displaystyle f(\frac{1}{4})<f(\frac{4}{5})\)
(103指考數甲)
111.3.20補充
甲乙兩人舉行五戰三勝的比賽(任一人先勝三局比賽就結束)。每一局比賽必有勝負，其中甲勝的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，乙勝的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。問比賽結束時，乙獲勝場次的期望值為[u] [/u]。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html[/url])
7.
小明在森林中迷了路，若繼續往前走則經過5分鐘後會回到原地，若返回走則有一半的機會於5分鐘後回到原地，另一半的機會於10分鐘後走出森林；假設小明向前走的機率為0.6，問小明能夠走出森林所花費的期望值為？
(A)25 (B)30 (C)40 (D)45 分鐘
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475[/url]
填充題
2.
設\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\)，\(g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根，試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值[u] [/u]。
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(高雄女中雙週一題，96師大附中，98中崙高中，[url]https://math.pro/db/thread-807-1-1.html[/url])
3.
曲線\(y=-x^2+2x\)與直線\(x+y=0\)圍成封閉區域\(\Gamma\)，求\(\Gamma\)繞\(x\)軸旋轉所成的旋轉體體積=[u] [/u]。
求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為[u] [/u]。
(100桃園高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652[/url])
4.
已知\(n\in N\)，且\(n<\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\ldots}}}}}}<n+1\)，則\(n=\)[u] [/u]。
[url]http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=12561&page=7[/url]
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
(104高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題，[url]https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html[/url])
5.
已知\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五人各有一頂不同之帽子﹐除\(A\)外另四人皆記得自己的帽子；重新混合後，依序由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)去取回一頂帽子。\(A\)任取一頂帽子，另四人若自己的帽子已被取走方可任取其餘帽子中之一頂，則五人取帽子之方法共有[u] [/u]種。
(104台中一中期中考，[url]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/tcfsh/T104122.pdf[/url])
6.
設有5個二維數據，其統計資料如下：\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i=10\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i=400\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i^2=30\)如果小小兵求\(y\)對\(x\)的迴歸直線方程式時，不慎將斜率公式誤植為\(\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)(y_i+\mu_y)}{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)^2}\)求得斜率\(\displaystyle \frac{311}{9}\)，其餘計算沒有錯誤，則正確的迴歸直線方程式應為[u] [/u]。
(104台中一中期中考，[url]http://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/experiment/PreviousExams[/url])
計算證明題
2.
設\((1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+\ldots+a_{2n}x^{2n}\)，其中\(a_0,a_1,\ldots\)為係數。證\(a_0+a_3+a_6+\ldots=a_1+a_4+a_7+\ldots=a_2+a_5+a_8+\ldots=3^{n-1}\)
(95台灣大學學士班甄選入學，[url]http://www.math.ntu.edu.tw/sites/default/files/imce/documents/exams/h_app_95.pdf[/url]) 謝謝老師即時發文，今年不少排列組合跟微積分 多選12題的....(D)
AP向量 與 平面法向量
有銳角、鈍角疑慮
cos 應該有 正負兩個答案
選項(D)應該有誤！！！
[[i] 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-11 13:28 編輯 [/i]] 選擇4:
之前我有拿出來討論,請參考下列連結~
[url]https://m.facebook.com/groups/541720912652820?view=permalink&id=1058211724337067[/url]
選擇6:
"蒙提霍爾問題 選門問題" (山羊與汽車問題)
[url]https://hk.thenewslens.com/article/80344[/url]
[url]https://www.shs.edu.tw/works/essay/2013/11/2013111418352920.pdf[/url]
填充2:
與"100全國聯招:綜合4"雷同(改數據而已)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 00:56 編輯 [/i]] 請教計算2
回復 6# Uukuokuo 的帖子
計算2設 \(f(x)=(1+x+x^{2})^{n}\)，且 \(w\)，\(w^{2}\) 為 \(1+x+x^{2}\) 的解
\(\begin{align}
& a_{0}+a_{3}+a_{6}+\cdots=\frac{f(1)+f(w)+f(w^{2})}{3}=3^{n-1} \\
& a_{1}+a_{4}+a_{7}+\cdots=\frac{f(1)+w^{2}\cdot f(w)+w\cdot f(w^{2})}{3}=3^{n-1} \\
& a_{2}+a_{5}+a_{8}+\cdots=\frac{f(1)+w\cdot f(w)+w^{2}\cdot f(w^{2})}{3}=3^{n-1}
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-13 21:25 編輯 [/i]] 請問選擇5 填充5
回復 8# jasonmv6124 的帖子
選擇5設 \(t=x^{4}\)，則 \(t^{3}+at^{2}+bt+c=0\)
\(t=16i\)，\(t=-1\)，\(t=81\)
\(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\)，\(x^{4}=81\)
其中 \(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\) 皆為虛根，有 \(8\) 個
\(x^{4}=81\) 有 \(2\) 個實根、\(2\) 個虛根
所以實根有 \(2\) 個，虛根有 \(10\) 個
填充5
全列-等待其他老師更好的解法
---A抽到A情況---
ABCDE
---B抽到A情況---
BACDE
---C抽到A情況---
BCADE
CBADE
---D抽到A情況---
BCDAE、BDCAE
CBDAE
DBCAE
---E抽到A情況---
BCDEA、BCEDA、BDCEA、BECDA
CBDEA、CBEDA
DBCEA
EBCDA
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-12 11:25 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]czk0622[/i] 於 2019-5-12 10:35 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19874&ptid=3132][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
選擇5
設 \(t=x^{4}\)，則 \(t^{3}+at^{2}+bt+c=0\)
\(t=16i\)，\(t=-1\)，\(t=81\)
\(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\)，\(x^{4}=81\)
其中 \(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\) 皆為虛根，有 \(8\) 個
\(x^{4}=81\) 有 \(2\) 個實根、\(2\) 個 ... [/quote]
填充5:
上面bugmens提供的連結有好幾種作法~
回復 10# Ellipse 的帖子
真的耶，沒點開來看感謝橢圓老師 計算證明(1)
請參考:
[url]https://www.facebook.com/groups/chetingmath/[/url]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 13:10 編輯 [/i]]
回復 9# czk0622 的帖子
填充5，取帽順序：A→B→C→D→E
若 A 取到自己的帽子，則後續 BCDE 只有一種取法，就是都正確的拿到自己的帽子。這五人如果最後是取到自己帽子畫 O，非自己帽子畫 X，則這個情況就記作 (A,B,C,D,E) = (O,O,O,O,O) 。
若 A 沒有取到自己的帽子，則 需往 BCDE 其中一人的帽子中任取，例如取到 C帽，則B必然拿正確的自己的帽子，然後 C 需往後任取，例如取到 D帽，則 D 需往後任取，例如取到 A 帽，則錯誤到此結束，因為 E 就會拿到自己的帽子了，像這個情況就記作 (A,B,C,D,E) = (X,O,X,X,O)。因為 A 一定是X，而B,C,D,E 之中至少有一個 X，所以共有 2^4-1 種。
合併以上兩種，共有 2^4 = 16 種情況。 謝謝老師們的回覆 非常感謝
回復 12# Ellipse 的帖子
不好意思 點過去看不到討論 可以再麻煩老師嗎？ 請教填充8，9 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2019-5-12 15:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19885&ptid=3132][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教填充8，9 [/quote]
填9
法1:一個個代入找規律
法2:利用特徵方程式(如下圖)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 16:17 編輯 [/i]]
回復 16# arend 的帖子
瑋岳老師的解法真漂亮填充8
所求為 \((x-3)^{2}+(y-1)^{2}\leq 4\) 在第一象限的面積的4倍
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-12 17:06 編輯 [/i]]
回復 16# arend 的帖子
填充第9題\(\begin{align}
& {{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{4}^{n}} \\
& \frac{{{a}_{n+1}}}{{{2}^{n}}}=\frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}+{{2}^{n}} \\
& \frac{{{a}_{2}}}{{{2}^{1}}}=\frac{{{a}_{1}}}{{{2}^{0}}}+{{2}^{1}} \\
& \frac{{{a}_{3}}}{{{2}^{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{2}^{1}}}+{{2}^{2}} \\
& : \\
& : \\
& \frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}=\frac{{{a}_{n-1}}}{{{2}^{n-2}}}+{{2}^{n-1}} \\
& \frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}=3+\left( {{2}^{1}}+{{2}^{2}}+\cdots +{{2}^{n-1}} \right)={{2}^{n}}+1 \\
& {{a}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)}{2}=\frac{{{4}^{n}}+{{2}^{n}}}{2} \\
\end{align}\) 謝謝橢圓老師，第八題我搞錯了，我以為要求兩圓想交面積