108中正預校國中部
如附件 單選題2.
大鋒與小旭競選預校中正青年，已知投票箱中有8張票投給大鋒，有5張票投給小旭，且開票過程中，大鋒的票數一直領先小旭的票數，試問滿足此狀況的方法數有幾種?
(1)42 (2)90 (3)132 (4)165 (5)297
[url]http://www.sec.ntnu.edu.tw/monthly/86(201~210)/206/1998-206-04(25-29).pdf[/url]
A.
設\(\displaystyle P=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\ldots+\frac{1}{2019\times 2020}\)，
\(\displaystyle Q=\frac{1}{1011\times 2020}+\frac{1}{1012\times 2019}+\frac{1}{1013\times 2018}+\ldots+\frac{1}{2020\times 1011}\)，
求\(\displaystyle \frac{P}{Q}=\)[u] [/u]。(化簡成最簡分數)
兩正數\( \displaystyle a=\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{5 \times 6}+...+\frac{1}{2003 \times 2004} \)
\( \displaystyle b=\frac{1}{1003 \times 2004}+\frac{1}{1004 \times 2003}+\frac{1}{1005 \times 2002}+...+\frac{1}{2004 \times 1003} \)
則\( \displaystyle \frac{a}{b}= \)？(請化為最簡分數)
[出處，93高中數學能力競賽 第二區筆試二試題]
(99彰化女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128[/url])
D.
\(f(x)\)為實係數函數，已知所有實數\(x\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(1)=2-\sqrt{3}\)，則\(f(2019)=\)[u] [/u]。
設\(x\)是整數，函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)。已知\(f(1)=3\)，\(f(2)=5\)，求\(f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)\)之值為何？
(105高中數學能力競賽 南區(台南區)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html[/url])
G.
令\(\displaystyle S=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{8}{6!+7!+8!}=\frac{p}{q}\)，其中\(p,q\)互質，若\(p+q\)為五位數，則此五位數的五個數字總和為[u] [/u]。
[提示]
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=1#pid19563[/url]
J.
若\(f(x)=\sqrt{x^4-5x^2+9}+\sqrt{x^4-5x^2-10x+34}\)，當\(x=k\)時，有最小值\(m\)，\(k^2m=\)[u] [/u]。
[提示]
\(\sqrt{(x-0)^2+(x^2-3)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(x^2-3)}\)
求函數\(f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20}\)的最小值？
(95台中高農，96彰師附工，97文華高中，88全國高中數學競賽 臺北市)
P.
\(a,b,c\)皆為實數，若\(a+b+c=3\)，則\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值為[u] [/u]。
\(a,b,c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值
(新高中數學101 P357)
(我的教甄準備之路 a+b=1求極值，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079[/url]) 填充M數字是否出錯?
邊長比為15:6:5
令三邊分別15t，6t，5t
S=13t與15t相減得負數
後記:把中線錯看成高.................
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-5-7 07:22 編輯 [/i]] 填充R，我算出n=20跟n=40，20+40=60，
但答案給120，不知道是不是哪裡弄錯了。
回復 4# bettytsai 的帖子
A為15度之旋轉矩陣24次方轉回I
故2n=24 48 72 96
得n=12 24 36 48
總計120
回復 3# satsuki931000 的帖子
填充題 M這題不用算出三邊長
硬要算的話，三邊長是 2√22、2√55、2√118
題目無問題
回復 6# thepiano 的帖子
算出來了 感謝鋼琴老師回復 5# satsuki931000 的帖子
謝謝你！有算出來了！剛剛發現自己沒看清楚題目，沒發現後面那個旋轉矩陣的cos跟sin的位置互換了... [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2019-5-6 14:14 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19801&ptid=3130][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如附件 [/quote]
A: 類似97年彰化聯招 #4
O: 類似103全國聯招 單選2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-6 23:36 編輯 [/i]] 想問選擇6 8
填充DEKLN
問題有點多抱歉
回復 10# satsuki931000 的帖子
選擇第6題作\(\overline{AM}\)垂直\(\overline{PQ}\)於\(M\)；作\(\overline{RN}\)垂直\(\overline{AM}\)於\(N\)
\(\begin{align}
& \overline{AR}=2,\overline{MR}=\frac{1}{\sqrt{2}},\overline{AM}=\frac{3}{\sqrt{2}} \\
& \overline{AN}=x,\overline{MN}=\frac{3}{\sqrt{2}}-x \\
& \overline{RN}={{2}^{2}}-{{x}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}-x \right)}^{2}} \\
& x=\frac{4}{3}\sqrt{2} \\
& \overline{RN}=\frac{2}{3} \\
\end{align}\)
回復 10# satsuki931000 的帖子
填充第D題\(\begin{align}
& f\left( x+2 \right)=\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)} \\
& f\left( x+4 \right)=\frac{1+f\left( x+2 \right)}{1-f\left( x+2 \right)}=\frac{1+\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)}}{1-\frac{1+f\left( x \right)}{1-f\left( x \right)}}=\frac{1}{-f\left( x \right)} \\
& f\left( x+6 \right)=\frac{1+f\left( x+4 \right)}{1-f\left( x+4 \right)}=\frac{1+\frac{1}{-f\left( x \right)}}{1-\frac{1}{-f\left( x \right)}}=\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1} \\
& f\left( x+8 \right)=\frac{1+f\left( x+6 \right)}{1-f\left( x+6 \right)}=\frac{1+\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1}}{1-\frac{f\left( x \right)-1}{f\left( x \right)+1}}=f\left( x \right) \\
\end{align}\)
剩下的就簡單了
回復 10# satsuki931000 的帖子
填充第E題\(\begin{align}
& \sin x+\cos x=t \\
& -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \\
& \left| \sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x+\csc x \right| \\
& =\left| \sin x+\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} \right| \\
& =\left| \sin x+\cos x+\frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} \right| \\
& =\left| t+\frac{1+t}{\frac{{{t}^{2}}-1}{2}} \right| \\
& =\left| t+\frac{2}{t-1} \right| \\
\end{align}\)
微分可知
\(\begin{align}
& t+\frac{2}{t-1}\ge 1+2\sqrt{2}\ or\ t\le 1-2\sqrt{2} \\
& \left| t+\frac{2}{t-1} \right|\ge 2\sqrt{2}-1 \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-23 15:31 編輯 [/i]]
回復 10# satsuki931000 的帖子
K把正四面體展開
圖片中，紅色直線長即為所求。
可以自己摺一個，比較具體。
回復 10# satsuki931000 的帖子
選擇第8題\(\begin{align}
& {{M}_{900}}=1 \\
& \\
& 0={{a}_{1}}={{a}_{2}}=\cdots ={{a}_{898}}\le {{a}_{899}}\le {{a}_{900}} \\
& 1={{a}_{899}}^{2}+{{a}_{900}}^{2}\ge 2{{a}_{899}}^{2} \\
& {{a}_{899}}\le \frac{1}{\sqrt{2}},{{M}_{899}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
& \\
& \sum\limits_{n=1}^{900}{{{M}_{n}}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{900}} \\
\end{align}\)
剩下的就老梗題了
想請教填充A
想請教填充A，謝謝老師！回復 16# q1214951 的帖子
填充A應該是這樣~不過怕有地方寫錯