設 \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)，\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}\)
\(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{2}_{2}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}+C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S_{n-1}\)
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n-1}}\)
\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S\)
因此 \(S=2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}\)
設 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}=L\)
\(\ \ L=1\cdot(\frac{1}{2})^{0}+2\cdot(\frac{1}{2})^{1}+3\cdot(\frac{1}{2})^{2}+\cdots\)
\(\frac{1}{2}L= \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\cdot(\frac{1}{2})^{1}+2\cdot(\frac{1}{2})^{2}+3\cdot(\frac{1}{3})^{2}+\cdots\)
上下相減得
\(\frac{1}{2}L=1+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+\cdots\)
\( \ \ \ \ \ =\frac{1}{1-0.5}\)
\( \ \ \ \ \ =2\)
\(L=4\)
\(S=2L=8\)
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 05:58 編輯 [/i]] #15另解~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-29 23:01 編輯 [/i]] 請問公告版的第4題
這題當初列出的式子 Pn=2/3-(1/3)Pn-1
回復 23# jasonmv6124 的帖子
第4題用馬可夫矩陣的方法
\(\frac{5}{32}+\frac{5}{32}=\frac{5}{16}\)
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 10:20 編輯 [/i]]
回復 23# jasonmv6124 的帖子
我是這麼算的，用轉移矩陣 謝謝兩位老師可以請問你們要怎麼分辨要用矩陣還是數列呢?
這題如果用數列來做可行嗎?
回復 26# jasonmv6124 的帖子
第 4 題設交換\(n\)次後，甲袋內兩顆球的和為偶數的機率為\({{p}_{n}}\)
\(\begin{align}
& {{p}_{n}}\text{=}{{p}_{n-1}}\times 0+\left( 1-{{p}_{n-1}} \right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{{p}_{n-1}} \\
& {{p}_{0}}=1 \\
& {{p}_{1}}=0 \\
& {{p}_{2}}=\frac{1}{2} \\
& {{p}_{3}}=\frac{1}{4} \\
& {{p}_{4}}=\frac{3}{8} \\
& {{p}_{5}}=\frac{5}{16} \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 12:38 編輯 [/i]]
填充 15.
另解:n(n+1)/2^n=(1+2+3+.......+n)/2^(n-1) , n=1,2,3,4,........
所求=[(1/2^0+1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^2+.....)+.......]/(1-1/2)
( [............ ]為各取一個的第一回合,而第二回合所取之值是第一回合的一半,公比=1/2,取無限多回合 )
=[2+1+1/2+.....]*2=4*2=8
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 15:58 編輯 [/i]] 填充 15.
另解 : 所求/4=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+.......中 x^2 的係數
=1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^2 的係數
=2 , 故所求=8
若原題中分子改為n(n+1)(n+2) ,分母不變
則 所求/(2*3*2^2)=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+[(1+x)/2]^4+.......中 x^3 的係數
=1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^3 的係數
=2 , 故所求=48
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3) ,分母不變 , 則所求=2*3*4*2^3*2=384
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ,分母不變 , 則所求=5!*2^5 , 即分子有k個數時 , 所求=k!*2^k (此結論經由Excel 驗證，無誤)
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 21:35 編輯 [/i]] 請問填7
真的有五的點！
謝謝鋼琴老師。
[[i] 本帖最後由 mojary 於 2019-5-6 15:48 編輯 [/i]]
回復 30# mojary 的帖子
(0，1)?回復 30# mojary 的帖子
填充第 7 題有\(\left( \frac{1}{5},1 \right),\left( \frac{1}{5},-1 \right),\left( 1,0 \right),\left( 5,1 \right),\left( 5,-1 \right)\)這五個沒錯
您有二個函數畫成指數函數了
第13題請教
版上老師好，請問除了一步步用暴力硬解，有沒有比較文明的作法阿 謝謝 [quote]原帖由 [i]anyway13[/i] 於 2019-5-1 16:50 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19760&ptid=3125][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]版上老師好，請問除了一步步用暴力硬解，有沒有比較文明的作法阿 謝謝 [/quote]
如下圖假設A(2,0) (2為0與4的中點)
第一次碰到邊界點B(4,3)
可得直線AB: 2y=3x-6
由入射角=反射角及對稱觀念
由圖形可知當y=24時,x=(2*24+6)/3=18 (20與24的中點)
也就是第九次反射後回到A
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-1 21:07 編輯 [/i]]
回復 34# Ellipse 的帖子
謝謝Ellipse 老師,太清楚了回復 20# czk0622 的帖子
除了一個一個試以外，我想說是不是可以這麼做？由(2)可以得到
\( \displaystyle\frac{19}{9}+\frac{1}{q}<\frac{p}{q}+\frac{1}{q}<\frac{7}{3}+\frac{1}{q}\)
\( \rightarrow\displaystyle 2+\frac{1}{9}<\frac{p}{q}<2+\frac{1}{3} \)
要讓\(q\)最小且找到限制的整數\( p \)
\( \rightarrow\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{1}{9}q-\frac{1}{3}q\geq 1\rightarrow q=4 \)
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-5-2 11:19 編輯 [/i]]
回復 27# thepiano 的帖子
謝謝 看來是我理解錯誤回復 29# laylay 的帖子
請問為甚麼可以看成x^2係數呢? #13 補動畫~[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-3 08:38 編輯 [/i]]
回復 33# anyway13 的帖子
把撞球檯直的分六行,橫的分四列,共24 空格,球必走空格的對角線,如此很快就可看出反射九次到達A點,構成一週期.[[i] 本帖最後由 laylay 於 2019-5-3 11:20 編輯 [/i]]
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