108板橋高中
題目努力回想完，才發現今天晚上10點會公告試題與答案先po上來給各位參考
P.S. 感謝一起在路邊回想題目的三位朋友
官方公告題目與答案了
[attach]4978[/attach]
[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2019-4-28 20:40 編輯 [/i]] 計算題
出處：IMO 1976-4
sorry 鋼琴是對的，我打反了...
答案為 \(\displaystyle2\cdot3^{672}\)
[[i] 本帖最後由 pgcci7339 於 2019-4-28 20:15 編輯 [/i]]
回復 2# pgcci7339 的帖子
101 年，中一中和中二中都考過這題計算題答案應是\(2\times {{3}^{672}}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-28 15:43 編輯 [/i]] 2.
若拋物線\(y=mx^2-1\)上必存在著相異兩點會對稱於直線\(x+y=0\)，試求\(m\)的範圍。
已知拋物線\(y=x^2+3x-1\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為[u] [/u]。
(92高中數學能力競賽，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url])
已知拋物線\(y=x^2+7x+11\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為[u] [/u]。
(103高中數學能力競賽 ，[url]https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html[/url])
10.
\(6^{108}+8^{108}\)除以343的餘數為[u] [/u]。
試求49除\(6^{98}+8^{98}\)的餘數。
(94高中數學能力競賽 高雄屏東區，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url])
設\(a_n=8^n+9^n+10^n\)，\(n=1,2,\ldots\)，試求\(a_{99}\)除以729的餘數。
(98高中數學能力競賽 台北市筆試一試題，[url]https://math.pro/db/thread-911-1-1.html[/url])
12.
若實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4 \cr x^2+y^2+z^2=10 \cr x^3+y^3+z^3=22}\)，則\(xyz=\)[u] [/u]。
(98高中數學能力競賽 第四區(新竹高中)，[url]https://math.pro/db/thread-911-1-1.html[/url])
13.
在一正方形球枱中，一球從底邊中點\(A\)處出發，往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{4}\)處碰撞後反射(如圖)，假設在完全彈性碰撞下，球在第一次回到\(A\)點之前共反射[u] [/u]次。
在一正方形球枱中，一球從底邊中點\(A\)處出發，往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{8}\)處碰撞後反射(如圖)，假設在完全彈性碰撞下，球在第一次回到\(A\)點之前共反射[u] [/u]次。
(98高中數學能力競賽 第二區(新店高中)，[url]https://math.pro/db/thread-911-1-1.html[/url])
14.
設函數\(f\)：\((0,1)\to R\)定義為\(f(x)=\cases{x,x \notin Q \cr \frac{p+1}{q},x=\frac{q}{p}}\),其中\(p,q \in N\)且\(p,q\)互質。則\(f(x)\)在區間\(\left(\frac{3}{7},\frac{9}{10} \right)\)上的最大值為[u] [/u]。
設函數\(f\)：\((0,1)\to R\)定義為
\(f(x)=\cases{\displaystyle x,x \notin Q \cr \frac{2p+1}{2q},x=\frac{p}{q},(p,q)=1,0<p<q,p,q \in N}\)
求\(f(x)\)在區間\( \displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{3}{7}\right) \)上的最大值？
(98高中數學能力競賽 第八區(高屏區)，[url]https://math.pro/db/thread-911-1-1.html[/url])
計算題
分解的最大乘積解法看這裡
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945[/url] 想請問7 14 15
回復 5# satsuki931000 的帖子
第 7 題\(\begin{align}
& \alpha +\beta =1 \\
& \alpha \beta =-1 \\
& \\
& {{\alpha }^{n+1}}-{{\beta }^{n+1}}=\left( {{\alpha }^{n}}-{{\beta }^{n}} \right)\left( \alpha +\beta \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{n-1}}-{{\beta }^{n-1}} \right)=\left( {{\alpha }^{n}}-{{\beta }^{n}} \right)+\left( {{\alpha }^{n-1}}-{{\beta }^{n-1}} \right) \\
& {{\alpha }^{2019}}-{{\beta }^{2019}}=\frac{3m+n}{2} \\
\end{align}\) 想請問第 5 題怎麼解？
回復 5# satsuki931000 的帖子
第 14 題A(6，13)、B(12，11)
設兩切線交於 C(t，0)
利用 AC = BC，可得 t = 5，C(5，0)
AB 中點 M(9，12)，圓心 W 在直線 MC：y = 3x - 15 上
令 W(k，3k - 15)
利用 WA = WB，可得 k = 37/4
WA^2 = 85/8
所求 = (85/8)π
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-28 21:46 編輯 [/i]] 5.40度 用畢氏定理作高即可解
附件不會上傳XD 5另解
[attach]4976[/attach]
回復 8# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師看起來兩題都是應該要算出來的題目
受教了 請教第二題 第二題
不確定是不是這樣算
有錯還請指教
感謝鋼琴老師更正 附上更正後的答案
[attach]4980[/attach]
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-4-28 20:58 編輯 [/i]]
回復 13# satsuki931000 的帖子
第 2 題設兩交點 A、B 在 y = x + k 上
mx^2 - 1 = x + k 之判別式 > 0，再配合 AB 中點在 y = -x 上，知 k = -1/m
解不等式可得 m > 3/4
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-28 20:31 編輯 [/i]] 想請教公告試卷的14題(f在區間上的最大值)，
想不到該怎麼分析，只知道是有理數發生最大值。
先謝謝!!
回復 15# d3054487667 的帖子
第 14 題題意為 \(\left( p,q \right)=1\quad ,\quad \frac{3}{7}<\frac{q}{p}<\frac{9}{19}\) 時，求 \(\frac{p+1}{q}\) 的最大值
要看清楚，兩者分母不同
此題最大值產生於 \(p=9\ ,\ q=4\) 謝謝你們解答 只有我覺得兩題送分很扯嗎... 填充16
[[i] 本帖最後由 peter0210 於 2019-4-29 14:47 編輯 [/i]]
回復 15# d3054487667 的帖子
第 14 題由 \(\frac{3}{7}<\frac{q}{p}<\frac{9}{19}\) 可得 \(\frac{19}{9}q<p<\frac{7}{3}q\)...(1)
整式同加 \(1\) 除 \(q\) 後得 \(\frac{19}{9}+\frac{1}{q}<\frac{p+1}{q}<\frac{7}{3}+\frac{1}{q}\)...(2)
由(2)可知:若存在 \(q\) 為最小之整數使得(1)中範圍之整數 \(p\) 亦存在，此時 \(\frac{p+1}{q}\) 有最大值
\(q=1 \Rightarrow 2.1<p<2.3\)，此時 \(p\) 無解
\(q=2 \Rightarrow 4.2<p<4.6\)，此時 \(p\) 無解
\(q=3 \Rightarrow 6.3<p<7\)，此時 \(p\) 無解
\(q=4 \Rightarrow 8.4<p<9.3\)，此時 \(p=9\) ，即 \(\frac{p+1}{q}\) 有最大值 \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)
[[i] 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-29 20:58 編輯 [/i]]
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