108彰化女中
彰化女中 試題及解答 填充題2.
\(n\)為正整數，已知\(2^2+2^n+2^{10}\)為完全平方數，\(n\)的最大值與最小值之和為[u] [/u]。
試求所有的正整數\(n\)使得\( x=2^8+2^{11}+2^n \)為一完全平方數。
(2006TRML團體賽，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218[/url])
3.
設有\(A\)、\(B\)兩支大瓶子，開始時，\(A\)瓶裝有\(\displaystyle \frac{2}{3}\)公升的純酒精，\(B\)瓶裝有\(\displaystyle \frac{1}{3}\)公升的礦泉水。每一輪操作都是先將\(A\)瓶的溶液倒出一半到\(B\)瓶，然後再將\(B\)瓶的溶液倒出一半回\(A\)瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。在第三輪操作後，\(A\)瓶的溶液中有[u] [/u]%的酒精。
設有\(A\)、\(B\)兩支大瓶子，開始時，\(A\)瓶裝有\(a\)公升的純酒精，\(B\)瓶裝有\(b\)公升的礦泉水。每一輪操作都是先將\(A\)瓶的溶液倒出一半到\(B\)瓶，然後再將\(B\)瓶的溶液倒出一半回\(A\)瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設\(n\)輪操作後，\(A\)瓶有\(a_n\)公升的溶液，\(B\)瓶有\(b_n\)公升的溶液。已知二階方陣\(\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]\)滿足\( \left[\matrix{a_n \cr b_n} \right]=\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]^n \left[ \matrix{a \cr b} \right] \)。
(1)求二階方陣\(\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]\)。
(2)當\(\displaystyle a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，求\(a_{100}\)及\(b_{100}\)。
(3)當\(\displaystyle a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，在第二輪操作後，\(A\)瓶的溶液中有百分之多少的酒精？
(98指考數學乙，[url]https://www.google.com/search?q=98%E6%8C%87%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E4%B9%99&rlz=1C1SQJL_zh-TWTW808TW808&oq=98%E6%8C%87%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E4%B9%99&aqs=chrome..69i57&sourceid=chrome&ie=UTF-8[/url])
5.
如圖所示，\(PQRS\)為一給定的矩形，長\(\overline{PQ}=14,\overline{QR}=6\)，而\(\Delta ABC\)為等腰三角形，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)邊上，\(R\)、\(S\)分別在\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)邊上，求\(\Delta ABC\)面積的最小值=[u] [/u]。
如圖所示，\(PQRS\)為一給定的矩形，長\(\overline{PQ}=12,\overline{QR}=5\)，而\(\Delta ABC\)為等腰三角形，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)邊上，\(R\)、\(S\)分別在\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)邊上，則當\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)邊上的高為[u] [/u]時，\(\Delta ABC\)的面積為最小。
(100指考數學甲，[url]https://www.google.com/search?q=100%E6%8C%87%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%94%B2&rlz=1C1SQJL_zh-TWTW808TW808&oq=100%E6%8C%87%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%94%B2&aqs=chrome..69i57j0.188j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8[/url])
6.
將一枚均勻的硬幣丟擲\(n\)次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金100元，正面第二次出現時可再得獎金200元，正面第三次出現時可再得獎金300元，以此類推。則丟擲\(n\)次的獎金期望值為[u] [/u]元。(以\(n\)表示)
將一枚均勻的硬幣丟擲10次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金100元，正面第二次出現時可再得獎金200元，正面第三次出現時可再得獎金300元，以此類推。則：
(1)得到獎金2800元的機率為[u] [/u]。
(2)丟擲10次的獎金的期望值為[u] [/u]元。
(103彰化女中段考試題)
已知丟某枚銅板，其出現正面的機率為\(p\)，出現反面的機率為\((1-p)\)，將此枚銅板丟擲\(n\)次，在丟擲過程中，正面第一次出現時，可得獎金1元﹐正面第二次出現時﹐可再得獎金2元，正面第三次出現時，可再得獎金 3 元，以此類推。試問下列哪些選項是正確的？
(1)若\(n\)次丟擲中出現正面\(k\)次，總共得到獎金\(\displaystyle \frac{1}{2}(k^2-k)\)元
(2) 丟擲銅板第二次之後，累計得獎金1元的機率為\(2(p-p^2)\)
(3) 總共得到獎金2元的機率為\(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}p^2(1-p)^{n-2}\)
(4) 總共得到獎金\(\displaystyle \frac{1}{2}(n^2-n)\)元的機率為\(n(p^{n-1}-p^n)\)
(98指考數學甲，[url]https://www.google.com/search?q=98%E6%8C%87%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%94%B2&rlz=1C1SQJL_zh-TWTW808TW808&oq=98%E6%8C%87%E8%80%83%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%94%B2&aqs=chrome..69i57.4065j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8[/url])
7.
在空間直角坐標系中有一點\(A(5,2\sqrt{6},7)\)。\(xy\)平面上有一圓\(C\)，其圓心為原點\(O\)、半徑為\(\sqrt{2}\)，\(P\)為圓\(C\)上的點且向量\(\vec{OA}\)與向量\(\vec{OP}\)所圍三角形面積為整數，則這樣的\(P\)點有[u] [/u]個。
在空間直角坐標系中有一點\(A(3,4,5)\)。\(xy\)平面上有一圓\(C\)，其圓心為原點\(O\)、半徑為\(\sqrt{2}\)，\(P\)為圓\(C\)上的點且向量\(\vec{OA}\)與向量\(\vec{OP}\)所圍三角形面積為整數，則這樣的\(P\)點有[u] [/u]個。
(1)4 (2)6 (3)8 (4)10 (5)12
(105模擬考數學甲，[url]http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/math/sumup/ExPoU2/ExTestPU/105/1052%E6%8C%87%E8%80%832%E6%A8%A1%E6%95%B8%E7%94%B21060405.pdf[/url])
8.
函數\(f(x)=x^2-\sqrt{2}x\)與\(g(x)=-x^2-1\)的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，則此四個切點組成的四邊形周長為[u] [/u]。
函數\(f(x)=x^2-2ax\)與\(g(x)=-x^2-1\)的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，若此四個切點組成的四邊形周長為6，求實數\(a\)的值。
(103高中數學能力競賽，[url]http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/semi_finals/103/103_zhongtou_semi-finals_writtenexam_1.pdf[/url])
計算證明題
2.
設相異三平面\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)
兩兩相交於一直線且三交線互相平行，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
請證明：\( \Delta=0\)且\(\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少一個不為0
三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明\(\Delta=0\)，\(\Delta x,\Delta y,\Delta z\)至少有一個不為0
(102武陵高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139[/url])
4.
證明：\(\displaystyle 87<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2019}}<89\)
[url]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url] 填充10
想請教第六題的題目
想請教各位老師第六題，看了指考題後還是不知道期望值應該怎麼算，
希望老師們給一點方向，感謝！ 填充6 請教填充第二題，用TRML2006做法，應該做不出來，請高手指教，謝謝
回復 6# arend 的帖子
若 \(n=1\)，\(2^{2}+2+2^{10}=1030\) 非完全平方若 \(n=2\)，\(2^{2}+2^{2}+2^{10}=1032\) 非完全平方
若 \(n=3\)，\(2^{2}+2^{3}+2^{10}=1036\) 非完全平方
若 \(n\geq 4\)，\(2^{2}+2^{n}+2^{10}=2^{2}(1+2^{n-2}+2^{8})\)
因此 \(1+2^{n-2}+2^{8}\) 為完全平方數，且為奇數
設 \(1+2^{n-2}+2^{8}=(1+2k)^{2}\)，展開得 \(2^{n-2}+2^{8}=4k+4k^{2}\)
因為 \(n\geq 4\)，所以 \(2^{n-4}+2^{6}=k+k^{2}=k(k+1)\)
即 \(2^{n-4}+2^{6}\) 為兩相鄰整數相乘
1. 若 \(n-4 \geq 6\)，\(2^{n-4}+2^{6}=2^{6}(2^{n-10}+1)\)，得 \(n-10=6\)，\(n=16\)
2.若 \(n-4 < 6\)，\(2^{n-4}+2^{6}=2^{n-4}(1+2^{10-n})\)，得 \(n-4=10-n\)，\(n=7\)
所以 最大值為 \(16\)，最小值為 \(7\) 謝謝你，感激
回復 7# czk0622 的帖子
我倒是沒考慮到n=1~3方法類似，但是因為數字都是2的次方
我分成
1：
\(2^{10}+2^n+4=(2^5+2)^2=2^{10}+2^7+4\)
\(n=7\)
2：
令\(2^n=b^2\)
\(b^2+2^{10}+4=(b+2)^2=b^2+4b+4\)
\(\displaystyle \frac{n}{2}=10-2=8\)
\(n=16\)
所以得到\(n=16；7\)兩根
回復 3# peter0210 的帖子
請問算式中的 \(x\) 是指什麼?回復 9# yi4012 的帖子
這方法我也想過，但如何解釋此兩解分別是最大最小值，且保證無其他解? 想請教填充第4題設 \(0<\theta<\phi,~\theta+\phi=45^\circ\)，若 \(\cot{\theta},~\cot{\phi}\) 都是正整數，求 \(\cot{\theta}+\cot{\phi}\) 之值。
回復 12# royan0837 的帖子
填充第 4 題\(\begin{align}
& \cot \left( \theta +\phi \right)=1 \\
& \frac{\cot \theta \cot \phi -1}{\cot \theta +\cot \phi }=1 \\
& \left( \cot \theta -1 \right)\left( \cot \phi -1 \right)=2 \\
& \cot \theta =3,\cot \phi =2 \\
\end{align}\) 想請教老師們第七題跟第八題^_^謝謝～～ 第八題算出兩條直線斜率
把四點都求出直接硬算周長得6
想請問有沒有比較快的方法 填充7. 六類似作法XD
[attach]5014[/attach] 圖畫得好清楚^_^謝謝老師們幫忙～～！
填充9
應該是黎曼和,對嗎?但我解不出正確答案...
請教老師們過程 9是黎曼和沒錯
[attach]5017[/attach]
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