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任何事情都有好的一面,
現在放棄就看不見了。

larson 發表於 2019-4-24 14:09

教甄口試之數論問題

求滿足方程式\((6x-1)^2+2=3(4y-1)^2\)之正整數\(x\)、\(y\)的解。

Ellipse 發表於 2019-4-25 10:30

[quote]原帖由 [i]larson[/i] 於 2019-4-24 14:09 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19617&ptid=3116][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如附件 [/quote]
原式=> 3(4y-1)²-(6x-1)²=2   ,兩端同乘以3 => (12y-3)²-3(6x-1)²=6
令u=12y-3 ,k=6x-1---------------(*1) , 則u²-3k²=6 -------------(*2)
觀察(x,y)=(1,1)即(u,k)=(9,5)為其中一解----------------(*3)
且r²-3s²=1-------------(*4)為Pell's equation形式
(*4)的通解為r_n= [ (2+√3)^n +(2-√3)^n ]/2  ,s_n= [ (2+√3)^n -(2-√3)^n ]/ (2√3 )
即(r,s)=(2,1) ,(7,4) ,(26,15) ,(97,56),(362,209) ,(1351,780) ,(5042,2911).................---------------------(*5)
由(*2),(*3),(*4) 可得6=(9r+3*5*s)² -3(9s+5r)²=(9r-3*5*s)² -3(9s-5r)²--------------------(*6)
逐一將(*5)代入(*6) 並檢查是否符合(*1)條件
.........
其中當(r.s)=(5042,2911)時,
9*5042-15*2911=1713=12y-3 ,得y=143
9*2911-5*5042=989=6x-1,得x=165
...................

試了幾項(到第七項,後面還沒試)
目前(x,y)的正整數解有(1,1) ,(165,143)

不過這題若是考教甄口試未免也太刁鑽了吧

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-25 10:45 編輯 [/i]]

larson 發表於 2019-4-25 11:05

回復 2# Ellipse 的帖子

感謝Ellipse ,
我之前考某高中的複試,
試教完,被帶去另一間教室,
他們在黑板先寫了三題數學問題,
要你現場解,解完又被帶走,不讓考生討論,
其實想一想也公平,因為大家都被問一樣的問題。
但這題猜測應是随機問的…

Ellipse 發表於 2019-4-25 12:55

[quote]原帖由 [i]larson[/i] 於 2019-4-25 11:05 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19625&ptid=3116][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝Ellipse ,
我之前考某高中的複試,
試教完,被帶去另一間教室,
他們在黑板先寫了三題數學問題,
要你現場解,解完又被帶走,不讓考生討論,
其實想一想也公平,因為大家都被問一樣的問題。
但這題猜測應是随機問的… ... [/quote]
那應該是考解題策略~
如果這題要用手算出所有解,當場是不太可能解出來的
(但對剛畢業純數學程的考生比較有利)

Ellipse 發表於 2019-4-25 14:45

讓電腦跑一下~
試了上面兩種情況,在n<=25情況之下,(x,y,n)的解共有下列這些~

Ellipse 發表於 2019-4-25 19:29

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