108麗山高中
再勞煩大家一起補充、修正填充題18題（4分）
計算題ㄧ （8分）
計算題二 （4分+4分）
計算題素養（12分）
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由於題目的還原度並非百分百
所提供出來的答案也並非完全正確
避免造成其他人的不適，故先移除
(也感謝熱心夥伴提供題目的完整性與修正)
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進複試最低分數：48分
108.5.7版主補充
4.
從集合\( \{\;2,2^2,2^3,\ldots,2^{25} \}\; \)中任意選取兩個不同的數\(a\)及\(b\)。試問\(log_a b\)為整數的機率是多少？
(2005AMC12，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2005_AMC_12A_Problems/Problem_23[/url])
16.
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。
(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽 高屏區，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url])
計算題
1.
設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點，今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\)，試問此正立方體的稜長為？
(89高中數學能力競賽 宜花東區，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url])
設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點，且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\)，求此正立方體的邊長。
(100高中數學能力競賽 台中區複賽筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html[/url]) 第三題的口是4
回復 1# Almighty 的帖子
第八題 第n次 點數和為偶數的機率計算2 f(0)=1,f’(0)=1 11題
數對(n，M)
\(M=x^4-y^4\)有極值時
\(x+y=n\)
回復 1# Almighty 的帖子
第9題 好像是1/2-1/2019！@@？回復 5# Christina 的帖子
第 9 題求級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2017}\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!=}\)[u] [/u]。
[解答]
您的答案正確
\(\begin{align}
& \frac{n+2}{n!+\left( n+1 \right)!+\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{n+2}{n!\left( 1+n+1+{{n}^{2}}+3n+2 \right)} \\
& =\frac{1}{n!\left( n+2 \right)} \\
& =\frac{n+2-1}{\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{1}{\left( n+1 \right)!}-\frac{1}{\left( n+2 \right)!} \\
\end{align}\)
回復 1# Almighty 的帖子
第 1 題答案是 125
回復 7# thepiano 的帖子
請教鋼琴老師第一題該怎麼算？另外請教第13題。謝謝老師幫忙
回復 8# Christina 的帖子
找出兩根，然後用棣美弗定理找同界角就可以了回復 9# d3054487667 的帖子
謝謝老師幫忙。我再想一想^_^填充1
在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？反面算
回復 8# Christina 的帖子
第 1 題在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？
[解答]
若 5 座島兩兩之間都有通道，則有 C(5，2) = 10 條通道
從 10 條通道中選 4 條，有 C(10，4) = 210 種選法
以下情形不能讓 5 座島相通，須扣除
(1) 其中 3 座相通(用 3 條通道)，另 2 座也相通(用 1 條通道)，但此二系統不互通
有 C(5，3) = 10 種情形
(2) 其中 4 座相通(用 4 條通道)，另 1 座獨立
有 C(5，4) * C(6，4) = 75 種情形
所求 = 210 - 10 - 75 = 125
回復 8# Christina 的帖子
第 13 題設\(\alpha\)、\(\beta\)為\(x^2-x+1=0\)之兩根，若\(\alpha+\beta=\alpha^n+\beta^n\)，其中\(n\)為自然數且\(1\le n \le 100\)，求滿足上式的自然數\(n\)有幾個？
[解答]
\(\begin{align}
& \alpha \beta =1 \\
& {{S}_{1}}=\alpha +\beta =1 \\
& {{S}_{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=-1 \\
& {{S}_{3}}=\left( \alpha +\beta \right)\left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)-\alpha \beta \left( \alpha +\beta \right)={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=-2 \\
& {{S}_{4}}=\left( \alpha +\beta \right)\left( {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}} \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=-1 \\
& {{S}_{5}}={{S}_{4}}-{{S}_{3}}=1 \\
& {{S}_{6}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}=2 \\
& {{S}_{7}}={{S}_{6}}-{{S}_{5}}=1 \\
& {{S}_{8}}={{S}_{7}}-{{S}_{6}}=-1 \\
\end{align}\)
六個一循環
所求\(=[\frac{100}{6}]\times 2+1=33\)
回復 1# Almighty 的帖子
不好意思，想請教第12題，小弟的答案不太一樣感謝老師回應
[[i] 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 13:14 編輯 [/i]]
回復 14# z78569 的帖子
在\(xy\)平面上，設\(\displaystyle A(\frac{1}{2},0)\)，\(O\)為原點，將\(\overline{OA}\)分成\(n\)等分，過其分割點\(\displaystyle B_k(\frac{k}{2n},0)\)做\(x\)軸的垂線，與圓\(x^2+y^2=1\)交在第一象限的點為\(\displaystyle P_k(\frac{k}{2n},\sqrt{1-\frac{k^2}{4n^2}})\)，則極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{k^2}{4n^2}}=\)？我根據題目重試一次
答案應該是如圖片所示
但12題其實我有點忘記正確題目數據
(在看有沒有其他夥伴能夠提供更正確的題目
或是 等待學校公告考題)
回復 15# Almighty 的帖子
感謝Almighty老師的分享，我了解自己錯在哪裡了另外想請教填充六有沒有其他作法(小弟覺得自己的做法太麻煩了，考試當場沒有做出來)
還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下
感謝!
[[i] 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 18:13 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]z78569[/i] 於 2019-4-21 17:42 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=19573&ptid=3113][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下
感謝! ... [/quote]
填六:
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(O\)為圓心，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(∠BDC=45^{\circ}\)，\(\vec{BD}=a \vec{OA}+b \vec{OB}\)，試求數對\((a,b)=\)？
[解答]
W.L.O.G 假設OA=OB=OC=OD=1
由正弦及畢氏定理知,BD=√(2+√3) , AB=√2 ,BC=√2 ,CD=√3,DA=1
座標化:令O(0,0) ,A(-1,0) ,B(0,1),C(1,0) ,假設D(x,y), DK垂直AC交AC於K點
則在三角形ADC中,由AC*DK=AD*DC ,可知D(x,y)=(-1/2 ,-√3/2)
向量BD=(-1/2 , (-√3/2)-1) =a(-1,0)+b(0,-1) ,解出 a=1/2 ,b= (-√3-2)/2
回復 16# z78569 的帖子
填充6圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(O\)為圓心，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(∠BDC=45^{\circ}\)，\(\vec{BD}=a \vec{OA}+b \vec{OB}\)，試求數對\((a,b)=\)？ 可以請教第11題嗎? 第17題
下圖中已知\(\Delta ABC\)為正三角形，\(DEFGHIJK\)為正八邊形，且\(E\)為\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{CE}=2\)，\(A,C,D\)三點共線，\(A,B,F,G\)四點共線，則\(\overline{AF}=\)[u] [/u]。
圖應該是這個
三角形和正八邊形只知線段CF=2 求線段AH長